杨振宁六大数理工作赏析 | 祝贺杨先生百岁华诞_风闻

我的物理学界同事大多对数学采取功利主义的态度。也许因为受我父亲的影响，我较为欣赏数学。我欣赏数学家的价值观，钦佩数学的优美和力量：它既有战术上的随机应变，又有战略上的深谋远虑。而且，堪称奇迹中的奇迹：它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构。

杨振宁，《杨振宁论文选集》

我请大家注意杨振宁的三个很突出的、同时也是罕见的集齐于一身的特点。第一，极其高超的数学能力，使他能够解决技术性问题；第二，对自然的深刻理解，使他能提出重要的问题；第三，一种团队精神，使他在中国文化的复兴中发挥主要作用。总之，这三种特质，造就了杨振宁之所以成为杨振宁，一个保守的革命者，他尊重历史并引领未来。

Freeman Dyson，《飞鸟与青蛙》序言

撰文 | 林开亮

欣逢杨振宁先生百岁华诞之际【编注：杨先生生于1922年农历八月十一（公历十月一日）】，我们对杨先生的数理工作略作介绍，希望有助于增进读者对杨先生非凡的学术成就的了解。首先要声明，笔者的物理修养不足，这里无法揭示杨先生工作之物理背景，请读者见谅。为免得读者误以为杨先生仅仅是擅长数学而已，这里我要先引用一段话 (参见注释[2]) :

问：我想您一向认为，理论发展中物理图像要很清楚，这也是您一贯的风格，是不是理论物理学家的风格也很不一样？

杨：我想如果把理论物理学家分类，可以有种种的方向来分，我们单讲一个方向， 就是对于数学的喜爱、能力以及用数学的风格，由这个方向可以把理论物理学家放在一条在线，一边是非常数学的，一边是非常不数学的。

如果我们谈到理论物理学家的风格， 可以把当时最要做数学的， 最不要做数学的， 和后来的规范场论， 说成是三个方向， 一个在右， 一个在左， 一个在中间。我一直认为在中间的较容易成功。

图1：《杨振宁论文选集》收入杨振宁自选的部分代表作，1983年出版。雕塑家熊秉明(1922-2002)[1]为封面题字，其父是数学家熊庆来(1893-1969)。

事实上，杨先生本人就是那种“在中间的”理论物理学家。作为对照，杨振宁在普林斯顿高等研究所的同事Freeman Dyson (1923-2020) 就属于“最要做数学”的那一种，参见注释[3]。

一

单位圆定理 [1952]

1952年，杨振宁与李政道合作，研究了相变理论，在第二篇合作文章中，引出了他第一个引以为豪的数学结果，称为“单位圆定理”。关于该定理的发现过程，杨先生在1983年出版的《杨振宁论文选集》中引用了1969年写给Mark Kac (1914–1984) 的一封信：

尔后，12月20日左右的一个晚上，我在家里工作，忽然领悟到，如果使Z1，Z2，… 成为独立变量并研究它们相对于单位圆周的运动，就可以利用归纳法、通过类似于您所用的那种推理得到完整的证明。一旦有了这个想法，只消几分钟就可以写出全部的论证细节。

第二天早上，我开车同李政道去弄棵圣诞树，在车上我把这个证明告诉了他。稍晚些时候，我们到了研究所[4]。我记得，我在黑板上给您讲述了这个方法。

这一切我都记得很清楚，因为我对这个猜想及其证明感到很得意。虽然说这算不上什么伟大的贡献，但是我满心欢喜地视之为一颗小珍珠。

图2：李政道与杨振宁在普林斯顿高等研究所合影，1961年左右。

有迹象表明，这是杨振宁发现的第一个漂亮数学定理。杨振宁的弟弟杨振平 (1930–2018) 曾写到[5]:

1951年圣诞节，我去普林斯顿大哥家度假，他那时刚刚证明了单位圆定理。我大学尚未毕业，数学和物理的基础都不是很强，他兴致极高地跟我讲单位圆定理。虽然我完全不明白他说什么，可是他当时的极端兴奋给我留下了不可磨灭的印象。他说他在这个问题上苦思良久没有结果，曾经去请教高等研究所著名数学家 Von Neumann 教授。Von Neumann 亦不知如何措手。六个星期以后，他终于解决了困难，得到了全部证明。他当时还说，“这恐怕将是我一生中能证明的最美的定理。”多年以后，我提起他的这句话， 他已经完全不记得了， 可能是因为他做了更重要更美的工作。

图3：杨振宁与Kac Kac以Feynman–Kac公式闻名，在1940年代与P. Erdős一起将数论概率方法引入

事实上，单位圆定理比定理1更一般。一般的单位圆定理说，同样的结论 (约化配分函数的零点落在单位圆周) 对实对称矩阵A成立，只要A的每一个非对角元都非负。

单位圆定理在物理学中有重要意义，引起了许多数学物理学家的兴趣，例如T. Asano, M. Suzuki, M. E. Fischer, D. Ruelle,C. M. Newman, E. H. Lieb 与 A. D. Sokal等。

特别值得一提的是，法国高等科学研究所的 Ruelle (1935–) 曾在其科普著作《数学与人类思维》中专辟一章讲单位圆定理，并且在给我 (译者之一) 的邮件中特别提到：“The Lee-Yang theorem remains a gem that I like to revisit from time to time (see for instance in my publications in www.ihes. fr/~ruelle/CVAnglais.html).” 此处，Ruelle 提到的是一篇发表于《数学年刊》的文章：Lee–Yang 多项式的刻划。此外，1970 年，E. Lieb 与O. J. Heilmann 给出了单位圆定理在图论中的一个变体：任意图的匹配多项式 (matching polynomial) 仅有实零点。这一结果及其改进被 A. Marcus, D.Spielman 和 N. Srivastava 用于构造 Ramanujan 图，其成果发表在 2015 年的《数学年刊》。

晚年时，杨振宁曾提起单位圆定理[6]：

我有个很有名的定理，叫做“单位圆定理”。单位圆定理是说，在物理中很有用的一类多项式，它们的根都在单位圆周上。我之所以会想到考虑多项式的根，是因为在我很小的时候，我父亲(按：杨武之，清华大学数学教授)就教给我两个漂亮的定理，其中之一是代数基本定理，它说每个非常数的多项式有复数根。(另一个是正 边形可以尺规作图，恰好与对称有关）

插话：杨武之的数论工作

图4：杨武之，1896–1973. 1928 年在芝加哥大学 L. E. Dickson 门下获得博士学位，将近代代数与数论引入中国，是华罗庚研究数论的引路人

1952年，英国数学家 G.L.Watson (1909–1988) 改进了这一结果，证明了每个正整数都可以写成8个正四面体数之和。这也是目前最好的结果。但这并非理想的结果，理想的结果是英国数学家F.Pollock (1783–1870) 在1843年提出的下述猜想：每个正整数都可以写成5个正四面体数之和。Pollock的猜想，是古典的Waring问题的一个变体。以华罗庚、陈景润为代表的中国数学家在Waring问题上取得了突出成就。关于这些问题的历史以及新近发展，可见注释[7]。

二

Yang-Mills规范场论[1954]

杨振宁先生曾经讲，他的工作有两个主题，统计力学与对称，前者约占三分之一，后者约在三分之二。从源头上讲，它们分别受到硕士论文指导老师王竹溪 (1911-1983) 和学士论文指导老师吴大猷 (1907-2000) 的影响。单位圆定理是他在统计力学的工作，现在我们来介绍他在对称方面的一项重要工作，这也是他一生最重要的工作——Yang-Mills规范场。

1954年，杨振宁从普林斯顿高等研究所到布鲁克海文国家实验室度学术假，与R. Mills (1927-1999) 共用一个办公室。杨振宁与Mills分享了关于推广电磁学的规范不变性原理的尝试，他们非常幸运地得到同位旋的规范不变性原理，规范场论诞生了。

图5：杨振宁与 Mills,1999 年在杨振宁退休研讨会上的合影

但由于矩阵的乘积不可交换，从它出发将引出极复杂的表达式。

如杨振宁在论文选集中所说：

这样一来，我便陷入了困境，不得不罢手。然而，基本的动机仍然吸引着我，在随后的几年中我不时地再回到这个问题上来，但是每一次都困在同一个地方。当然， 于研究学问的人来说，一些看起来很好的想法，却老是不成功，是每个人都会碰到的共同经验。多数情况下，这种想法要不就只好放弃，要不就束之高阁。但是也有一些人坚持不懈，甚至执迷不悟。有时这种执迷不悟最后成为一桩好事。[按：杨先生写这段话时也许曾想到 Einstein， 后者将狭义相对论推广到广义相对论，同样花了七年之久。]

随着越来越多的介子被发现以及各种各样的相互作用的被考虑，我感觉迫切需要一种在写出各种相互作用时大家都应遵循的原理。因此，在我再一次回到把规范不变性推广出去的念头上来。与我共用办公室的Mills是哥伦比亚大学N. Kroll手下的研究生，即将取得博士学位。我们共同研究这个问题，最终写成论文。

(其中i是虚数单位， g是耦合常数。) 于是天堑变通途。诚然，事后从微分几何的观点来看，场强的这个定义确实是自然的，但考虑到杨振宁和Mills当时并没有微分几何的背景， 写出这个公式就不简单了。

从以上场强公式出发，杨振宁和Mills引入Yang–Mills泛函，考虑其欧拉–拉格朗日方程，就得到Yang–Mills方程，它是著名的Maxwell方程的推广。跟Maxwell方程所描述的光子一样，Yang–Mills方程描述的规范玻色子的质量也是零。这个问题一度令杨振宁很头疼，因为他和Mills倾向于相信，带电的规范粒子必定有质量。杨振宁也因此遭到物理学家Pauli的诘难，后者坚持认为这一理论不可靠。当杨振宁在普林斯顿高等研究所讲述他和Mills的工作时，Pauli毫不客气地批评。事实上，Pauli曾有类似的想法，但因为质量问题没有解决而放弃。

图6：Pauli一向以批评人见长。以上是他的一句名言，有个知名的数学物理普及网站就叫 “Not Even Wrong” (http://www.math.columbia.edu/ woit/wordpress/). 就连Einstein，他也不客气：“You know,what Einstein has just said isn’t so stupid.”

Einstein和Weyl曾联合推荐 Pauli 担任高等研究所的第二任所长，但被Pauli拒绝。后来 J. R. Oppenheimer (1904–1967) 接任。Pauli在1946 年获得Nobel物理学奖，Weyl借用另一位Nobel奖得主N. Bohr (1885–1962)的话来评价他：“Pauli for many years has been the conscience and criterion of truth for a large part of the community of theoretical physicists.” 可以想见，Pauli的批评当时给杨振宁形成了巨大的心理压力。

然而，杨振宁并未退缩，他写道：“我们究竟应不应该发表这篇关于规范场的文章？在我们心中，这从来就不是一个真正的问题。我们的想法是美妙的，应该发表出来。”

2021年9月，为庆祝杨振宁先生百岁华诞，清华大学、中国物理学会、香港中文大学联合主办的杨振宁先生学术思想研讨会的会徽，就嵌着Yang–Mill场强公式：

这个公式的重要性在1954年尚未认识到，20多年以后，才被充分认。我们将在第5节讲述。

插话：Weyl

杨先生晚年论及规范场时，常常提及两个人，一个是 Pauli，另一个是规范原理的创始人Hermann Weyl (1885–1955)，后者是普林斯顿高等研究所元老级别的数学教授。Weyl生前一直心心念要将规范不变原理加以推广。遗憾的是，Weyl 去世前并未了解杨振宁和Mills的工作。可以料想，倘若Weyl有机会了解这一工作，那么规范场论可能在上世纪50年代就蓬勃发展了，当然很可能杨振宁本人的工作也会以规范场为主线贯穿。顺便指出，杨振宁被视为Weyl在20世纪下半叶的衣钵传人，在1985年Weyl诞辰百周年之际，杨振宁在苏黎世做了“Hermann Weyl对物理学的贡献”的精彩演讲。

图7：普林斯顿高等研究所的徽章，主题“真与美“。英国诗人济慈有名句：”美者真，真者美。”

普林斯顿高等研究所的徽章主题“真与美”，恰好反映了Pauli与杨振宁的不同价值观。Pauli选择真；杨振宁选择美。Weyl呢？他有一句经Dyson转述的名言：“我的工作就是努力把真与美统一起来；当我不得不作出抉择时，我常常选择美。”

Weyl，1918年提出规范原理，试图统一电磁场和引力场，但因为不符合物理常识遭到Einstein的反对。量子力学出现以后，规范原理得到复活，但令Weyl意外的是，它并未统一电磁场和引力场，而是统一了电磁场和量子力学中的电子-波场。Weyl为统一场论做了许多尝试，直到1950年他都发表过这方面的文章。但在《半个世纪的数学》[8]一文中，他对此总结道：

人们试图用这些几何结构来描述引力场之外的自然界存在的其它物理场，像电磁场、电子-波场以及对应于其他几种粒子的场。但是，在我看来，迄今为止所有力图建立统一场理论的设想都失败了。我们有极为合理的理由来用微分几何的基本概念来解释引力。但是，试图把所有物理实体都“几何化”或许是靠不住的。

三

反对称张量的乘积不等式[1962-1963]

1962年，杨振宁发表了一篇关于凝聚态物理的文章，其中包含了一些纯数学的结果。1963年，他又做了进一步发展。这些问题本身是饶有趣味的，但由于他采用的是物理学家的语言和记号 (约化密度矩阵)，以至于数学界鲜有人知。这里我们将他的工作翻译成数学语言 (参见注释[9]) 。

2004年，数学家T. Iwaniec，J. Kauhanen，A. Kravetz，C. Scott在其合作文章中考虑了略微一般的问题，但这些作者并不了解，他们差不多是重复了杨振宁40年前的工作；而他们对这个一般问题也未能做出合理的猜测 (实际上他们对一个简单的情形猜错了，他们在p.214猜测 ，这小于猜想1给出的数) 。

顺便指出，杨振宁所考虑的是Fermions体系，而Bosons体系的相应问题已经为L. Onsager (1903– 1976) 和O. Penrose[10](1929–，他是2020年诺贝尔物理学奖得主R. Penrose的哥哥他们还有一个知名的棋手弟弟 Jonathan Penros Penrose (1933–)。Penrose 当时是 Onsager 的博士后) 所考虑。杨振宁正是受到他们工作的启发而考虑Fermions体系以及同时包含Bosons与Fermions的体系。

从数学上讲，Fermions体系的波函数用反对称的多重线性函数——即外代数——表示， 而Bosons体系的波函数用全对称的多重线性函数表示，而对称代数同构于多项式代数。对于Bosons体系，杨振 宁得到的结果可如下表述：

杨振宁在1962年的论文中就得到了这个结果，后来又被数学家B. Beauzamy在1990年得到。

四

Yang-Baxter方程[1967]

1963年，数学家E. Lieb与W. Liniger利用著名的Bethe拟设求解了一维玻色子在互斥作用下的本征值问题，1964年，物理学家J. B. McGuire也独立解决了同一问题。1965年，McGuire考虑了费米子的类似问题，得到特殊情况下的部分结果，1967年Lieb和M. Flicker做了进一步推广，但未完全解决。1967年，杨振宁和M. Gaudin（1931–）各自独立地解决了一般问题。杨振宁通过利用一个推广的Bethe拟设完成了这一工作，其文章极短，而Gaudin的全文是其博士论文。

杨振宁之所以对这个问题感兴趣，是因为早年他就注意到Bethe拟设的妙处。Bethe拟设由物理学家H. Bethe (1906–2005) 在1931年提出，它大致说，若一个系统的哈密顿量具有某种对称性，那么它具有某种特定形式的本征值和本征函数。

图 8: 杨振宁与 Baxter

杨振宁的第一个研究生（B. Sutherland）的工作，充分利用了Bethe拟设的有效性,并在个别情形严格证明了其正确性 (Bethe拟设的数学内涵，1982年由数学家E. Gutkin在Integrable systems with delta-potential一文中揭示。)

在求解费米子的本征值问题时，杨振宁注意到，有一组等式很关键，确保了方程组的相容性 (系统的可积性)。这组等式1971年又被R. J. Baxter (1940–) 重新发现，从而被冠名为Yang–Baxter方程。

通过明确写出Yang–Baxter方程的具体形式来理解它，对笔者和读者来说都是极困难的.这里我们满足于给出一个不失其精髓的简化版本。从精神上讲，Yang–Baxter方程有似于三个元素的全置换群S3的生成元之间的基本关系。如下图所示：

图9：从第一行第一个图到第二个经历的是σ1=(1, 2)，从第二个图到第三个图经历的是σ2=(2, 3) ，之后的四步是重复两次这些操作。最终的结果： (σ1σ2)3=1，即六步恰好回复原位。

Yang–Baxter方程与可积系统的发展，被俄罗斯L. Faddeev (1934–2017) 学派发扬光大。特别地，最初被用来描述Yang–Baxter方程的解的一个工具后来被V. Drinfeld定义为Yangian。

值得一提的是，2010年，杨振宁在与尤亦庄合作的文章中更正了1967年文章中末尾的一处错误，为这个问题画上了圆满的句号。

顺便指出，2009–2010年间，杨振宁发表了7篇学术论文(均发表在Chinese Physics Letters) ，其中有5篇是与马中骐教授合作。马中骐教授告诉我，他们的工作产生了一些未解决的猜想：

杨先生和我合作的工作，用Thomas–Fermi方法计算电子密度分布的精确解。我们相信这是精确解，用了一些辅证，但不是严格证明。我们不会证也没有精力去严格证明了。

南开大学陈省身数学研究所的葛墨林院士在一篇文章[11]特别分享了杨先生做物理的与众不同:

物理从某种意义上是一种直觉。我有时问杨振宁先生，您怎么写一篇文章就是经典文章？我问他怎么去推导？他说不对，我做这个之前，我早就知道是这个结果，先猜的。好物理都是先猜出来的。也就是说，他的物理图像非常清楚，早就知道该做什么，然后去推。

这不由得令我们想起数学家E. Artin (1898–1962) 的一句名言；“我们的困难不在于证明，而在于学习要证明的是什么。”

五

Wu-Yang字典[1975]

1968–1969年，杨振宁在石溪讲授一门广义相对论的课程。有一天，他在黑板上抄下著名的Riemann曲率公式：

杨振宁与Simons的交流，不由令人想到A. Einstein（1879–1955）与数学家M. Grossmann (1878–1936) 的故事。正是Grossmann向Einstein指出了Riemann几何对于发展广义相对论的重要性。据说，当年Einstein向老同学求教时，是这样说的：“Grossmann，你一定要帮帮我，不然我会疯掉！”也正是Simons让杨振宁认识到纤维丛对于规范场论的重要性。

1975年，杨振宁与吴大竣合作，给出了规范场的整体表述，并给出了著名的Wu–Yang字典，在规范场和纤维丛之间架起了桥梁，从而用纤维丛的数学澄清了规范场中一些含混不清的概念。