0到1之间的实数随便挑一个，挑中无理数的概率是多少？挑中有理数的概率又是多少？_风闻

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• 胡编
• 无知就请不要出来炫耀了。概率为一，就是必然事件；概率为零，就是不可能事件

不考虑立场，完全从数学上讲，原po的陈述原则上是成立的。

我举一个学究一点的例子：

在所有0到1之间的实数里随便挑一个，要保证这个范围里的每一个实数被挑中的机会都是相同的。问：挑中一个无理数的概率是多少？挑中一个有理数的概率又是多少？（挑中的不是有理数就是无理数，这也是“两种可能”）

概率论的答案是：挑中一个无理数的概率是1（不是约等于1，不是逼近1，就是1本身），挑中一个有理数的概率是0（不是约等于0，不是逼近0，就是严格精确的0）。是的，概率论指出：虽然介于0和1之间的有理数有无穷多个（比君士鸡丁的“一个点”多得多了），但是一条一米长的布条，闭着眼睛扔飞镖扎中布条上一个点，这个点到布条左端的距离是有理数的概率是0。虽然你绕着扎中布条的飞镖的尖，画一个不管多微小的圈，圈里都有无穷多个点到布条左端的距离是有理数，可飞镖的尖本身怼在一个有理数上的概率就是0。

怎么解释呢？我试一下通俗而不严谨地解释。那好，你认为挑中一个有理数的概率不是严格精确的零，那是多少呢？“猜一个吧，亿亿亿分之一？”那咱们先来证明：0到1之间的无理数的个数，至少比有理数多了一亿亿亿倍。粗略的办法很简单：有理数分为有限小数和无限循环小数，但是无限循环小数可以看成把有限小数的小数点后的一部分或全部无限复制粘贴，所以无限循环小数的个数，不严谨地说，比有限小数“多不了多少”。而无理数是无限不循环小数，小数点后的位数是无穷的。想象：把所有的有限小数都通过“末尾加零补齐”的方法统一到相同的位数，然后在每个这样的小数后边再加24位小数，每位新加的小数都可以取0~9之间的数字，那就有了一亿亿亿个不同的新小数。由此可见，随便给我一个有理数，我都能至少找到一亿亿亿个无理数与其对应。

那么，既然无理数的个数至少比有理数多了一亿亿亿倍，那么挑中一个无理数的概率，也至少要比挑中一个有理数的概率大一亿亿亿倍。但是假如挑中一个有理数的概率高达亿亿亿分之一，那么挑中无理数的概率就超过1了。所以挑中一个有理数的概率不可能高达亿亿亿分之一。

也许三个“亿”字太少了？你爱加几个亿字加几个，要不来个“十的一亿亿亿次方分之一”？那我就可以同理证明：“无理数的个数，至少比有理数多了十的一亿亿亿次方倍”，总之都可以用相同的思维处理——反正无理数是小数位数无限的。

所以，唯一的办法，就是承认挑中有理数的概率是严格精确的零。