唐朝科举里的数学题，我赌你只能做1道出来！_风闻

出处 | 果壳（Guokr42）

今天的设定是这样的：您太讨厌数学了，于是穿越到古代去搞科举，心想背背书就能取得功名，似乎还好。

确实，大多数朝代的科举，都不考稍微难一点的数学题。

但是您穿越到了唐朝，唉。

唐朝最惨专业

唐朝有一个中央教育机构叫“国子监（jiàn）”，它既是政府机关，又是最高学府。

国子监最主要的部分有6个，关系大致如下图。

其实不同时期具体情况不一样，这里只是以《新唐书·选举志上》的体系举个例子

理论上说，对平民家孩子开放的“专业”有4个：“四门学”前途无量，“律学”黯淡无光，“书学”“算学”只有一脸惨相。而你穿越回去，上了“算学专业”。

入学了！

来都来了，咱们就简单了解一下学制吧，看看几年能出头。

算学的学制是7年。入学条件也还行：学费就是一匹绢（在当时不算贵，因为您的破专业没前途），两轮考试通过了就行（这个破专业并不卷）。

入学以后，您有两个班可以选。

学习内容丨制图：清洁工；资料来源：《新唐书·选举志上》举例子

第一班要学10本书，第二班只学4本。我劝您选第一班，因为浓缩咖啡劲头大，浓缩铀会核爆炸，浓缩数学题？谁看谁头大。不信接着看。

图丨作者灵魂手绘

上学吧！

选好以后，七年的寒窗苦读就要开始了。

这期间，十天一小考，每年一大考，而且没有寒暑假。好在如果您听我劝，选了第一班的话，大多数题真的不算难，咱们待会儿就见识见识它们。

考试当官了！

光阴似箭，您在9年内通过7次年终大考，终于迎来了毕业考试。要是您毕业考试也过了，那……还有一个考试——“明算科”科举考试。

唐朝常规举行的科举考试也分六种，格局和国子监六大“专业”有点像。不用问，您要考的“明算科”还是最惨的。

6种考试丨制图：清洁工；资料来源：《新唐书·选举志上》

简单介绍一下您有多惨。

首先是级别很低。

在唐朝开元后期，“书、算于从九品下叙排”——通过明算科考试，您将有机会得到“**从九品下”**这个级别的官职。

这个级别有多低？我们平时说官职小，用“九品芝麻官”这个说法，而**“九品芝麻官”都高您一等**，是“正九品上”。

接着是升迁很慢。

没有特殊情况的话，唐朝官员一般每4年可以升迁1阶。

您起步是最低级的“从九品下”，距离七品的中层官职（县级）隔了8级，距离五品的高官（州级）隔了16级。也就是说，您用7年时间毕了业，然后马上考中明算科，再熬上64年不退休，就能当大官啦。

您的漫漫升官路丨制图：清洁工

不过按照唐朝惯例，像您这样的小官，到了七十岁，上司无论如何都会催着您“荣归乡里”。反正我个人没在史料中见过有哪个大官是考明算科考出来的。

不过总有您这样的人去考的，毕竟考上了有公务员编制啊！

算学生的作业本

唐代数学专业学生，搞的基本都是应用题，主题是古人日常生活中会接触的事，像什么种田织布、挖土筑堤、卖米囤粮、请客吃饭、偷钱抓贼……

从今天的数学知识来看，绝大多数应用题还挺简单的，基本不需要初中以上的数学知识。我今天就带来您做几个题体验一下。

说明

1，在果壳后台回复“偷看答案”来偷看答案（不保证全对）；

2，本文作者是中文系学古汉语的，没有专门学习过中国数学史。古人的解法书写简略且有独特的术语体系，作者阅读较困难。本文所有解法均利用现代数学方法完成，步骤未必与古人一致。

第一题：好简单

 “今有田广十五步，从十六步，问为田几何？”

——《九章算术·方田》

翻译：

步是一种古代长度单位，240平方步是一亩。有一块长十五步，宽十六步的长方形田地，请问它的面积是多大？

第二题：追及问题！

今有迟行者五十步，疾行者七十步。迟行者以先发，疾行者以后发，行八十七里一百五十步乃及之。问迟行者先发行几何里？

——《张丘建算经》卷中

翻译：

两人作匀速运动。阿慢每个单位时间可以跑50步（“步”还是那个长度单位）；阿快这么长时间可以跑70步。

阿慢先跑，阿快再追，锲而不舍地狂奔87里零150步（300步=1里）才撵上。请问阿慢先跑的那段跑了多远？

图丨作者灵魂手绘

第三题：还是追及

今有人盗马，乘去。已行三十七里，马主人乃觉悟，追之一百四十五里，不及二十三里而还；今不还追之，问几何里及之。

——《张丘建算经》卷中

翻译：

小偷偷了马，跑了37里时，失主才开始追。失主狂追145里（大约77公里），累了不跑了，这时候距离小偷还有23里。请问如果失主有恒心，再跑多远能追到？

图丨作者灵魂手绘

第四题：相遇问题

今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问几何日相逢？各穿几何？

——《九章算术·盈不足》

翻译：

一堵墙，厚五尺（约1.2米），两边各有一耗子。它们相向挖洞，而且每天都是匀速运动。

第一天，俩耗子各挖了一尺。之后，其中比较大只的耗子越挖越有干劲，决定每天提速100%；小耗子拒绝内卷，每天少挖50%。

请问挖穿这堵墙时，俩耗子挖了多久，分别挖了多远。

图丨作者灵魂手绘

第五题：开始难了

今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百钱。欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？

——《九章算术·衰分》

翻译：

吃饭的时候，爵位每提高n级，出的钱是1/（n+1）。比如最低级的“公士”要花6元钱的话，“不更”就只花3元，“簪裊”花2元，“上造”就只用花1.5元……

那么，爵位相邻的五个人吃饭，一共要花一百钱，请问每个人分别出多少钱呢？

官员级别丨制图：清洁工

第六题：烦人的几何

又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。问为田几何？

——《九章算术·方田》

翻译：

有一块环状的田地，但未必是一整圈。它的内弧长62.75步，外弧长113.5步，两条弧线间距12+2/3步。请问这块田地一共多大？

图丨作者灵魂手绘

第七题：最后一道大题！

最后我们来看一道最难的题，它来自《缉古算经》。

《缉古算经》这本书只有二十道题，在唐朝学制里却要学四年，平均一年学五道。这本书上的内容，即使对今天的普通人来说也是颇有难度的，特别是在不许用计算器的情况下。

我们来看其中最有名的第三题。

假令筑堤，西头上、下广差六丈八尺二寸，东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺，上广多东头高四尺九寸，正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人，乙县一万六千六百七十七人，丙县一万九千四百四十八人，丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水宽一十二步，上山三当四，下山六当五，水行一当二，平道踟蹰十加一，载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造，一日役华。今从东头与甲，其次与乙、丙、丁。问：给斜、正袤与高及下广，并每人一日自穿、运、筑程功，及堤上、下高、广各几何？

——《缉古算经》第三问

我画了张图帮您理解，虽然您很可能也难以理解。

图丨作者灵魂手绘

翻译：

已知AB=CD，EF=GH，AC=EG，AE=CG，AC∥BD∥FH，AB∥EF，CD∥GH，AC⊥AE，CI⊥BD，JG⊥FH，BD比AC长682寸，FH比EG长62寸，CI比GJ长310寸，EG比GJ长49寸，CG比GJ长4769寸，整个六面体面积为275924800立方寸（这个数不是题设给的，是用题设中别的数据算出来的，但算法很复杂，三言两语说不清，您默认就好了）。求AC、BD、AE、FH、CI、GJ的长度。 

Guokr

最后要说一点，您穿越到古代终于学完了数学、考完了明算，但要是时间不妥，怕是功名也废了：到五代时期，明算科地位继续下降，从“不重要”变为“不存在”。直到近代，相对复杂一点的数学知识才重归正规教育考试之列。

参考文献

[1] 《新唐书》，中华书局1975。

[2]《大唐六典》，三秦出版社1996年影印广池本。

[3]《汉书》，中华书局1962。

[4]《九章算术细草图说》《海岛算经细草图说》《孙子算经》《五曹算经》《数述记遗》《夏侯阳算经》，《续修四库全书》卷1041影印本，上海古籍出版社2002。

[5]《周髀算经》《五经算术》《张丘建算经》《缉古算经（附细草）》，《丛书集成新编》卷40、41影印本，新文丰出版公司1985。

[6]邱光明《中国历代度量衡考》，科学出版社1992。

[7]《旧唐书》，中华书局1975。

作者：清洁工

编辑：李小葵