游戏里的数学：合成大西瓜之美妙的圆圆相吻_风闻

最近风靡全网的小游戏“合成大西瓜”

撰文 | David Austin

翻译 | 丁玖

笛卡尔圆定理

在1643年写给波西米亚的伊丽莎白公主（Princess Elizabeth of Bohemia）的一封信中，勒奈·笛卡尔（René Descartes）描述了如下图所示的四个互切圆半径之间的一种优美关系，这个关系现以笛卡尔圆定理为名。

利用圆的曲率（即圆半径的倒数），我们能最简洁地表达笛卡尔圆定理：将第i个圆的曲率记为bi，则有

我们将一组四个互切圆称为一个笛卡尔配置（Descartes configuration）。

笛卡尔的关系也适用于如下图所示的其他一些看似有点例外的配置。在左下图，直线的曲率被认为是零，而右下图中的外圆曲率被看成是负的。按照这些约定，笛卡尔的关系仍然有效。

这个定理已数次被独立发现。例如，在18世纪的日本它就被知道。曾因发现同位素而获得1921年诺贝尔奖的化学家弗雷德里克·索迪（Frederick Soddy），也发现了它的一个证明。他对该定理如此满意，以至于将它以一首诗的形式发表出来，诗名为《精确之吻》（The Kiss Precise）。它的开头是这样的：

双唇相交之际， 或许无关三角。四圆互吻却不然， 每个都吻另三个。

在诗歌的第三节，索迪描述了关于五个互切球面的一个类似结果：它们的曲率平方和等于曲率之和平方的三分之一，即

下一年，托洛尔德·戈塞特（Thorold Gosset）添加了诗歌的第四节，描述n+2个彼此互切的（n-1）-维球面曲率之间的关系，即

交换笛卡尔配置

如果我们从三个互切圆（下面用黑色圆圈表示）开始，则可以有两种方式加进红色标记的圆，以构建笛卡尔配置。

被交换的两个圆的曲率只是简单相关，而这些圆本身也通过圆的反演而简单地相关。为了描述这一过程，让我们以一个圆心为O的圆开始。在这个圆上反演就像在一条直线上反射：我们将点P送到点P’，使得三点O、P及P’共线，并且两距离OP和OP’的乘积OP·OP’等于于圆半径的平方。

记住我们将直线视为曲率为零的圆，我们就可以说，圆的反演将一个圆转变成另一个圆。然而，反演不保持欧几里得的距离概念，所以圆的反演图像及其半径与之前的通常并不相同。请注意，在同一个圆中反演两次，则将每一个点变回到其原始位置。

现在设想我们有一个笛卡尔配置，并希望在该配置上执行一次交换。如果我们将注意力集中在不变的三个圆（下图中的黑色圆圈）上，就可以通过三个切点画一个圆，即下图中的蓝色圆圈。这个蓝色圆圈中的反演将三个黑色圆圈各自变成自己，但把原始笛卡尔配置中的第四个圆（图中的红色圆圈）和新配置中的第四个圆（图中的另一个红色圆圈）交换。这给出了交换操作的几何实现。在下图中，蓝色圆圈中的反演将两个红色圆圈互换。

阿波罗尼奥斯圈填料（Apollonian circle packings）

我们现在有一种方法可以产生大量的笛卡尔配置。特别地，给定笛卡尔配置，我们可以用上述方法替换配置内的四个圆中的任何一个。这导致了四个新的圆圈和四个新的配置。

当然，我们无疑可以重复这个过程。我们有四个新配置，可以对每个配置执行三次交换（第四次交换将会使我们返回到原始配置）。

然后再次：

再来一次：

无限期地继续下去，我们发现：

这被称为阿波罗尼奥斯填料，以纪念阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262-前190年），他有时也被称为“伟大的几何学家”。阿波罗尼奥斯也许最有名的是他的专著《圆锥曲线》，它研究了由平面与圆锥相交所得到的椭圆、抛物线和双曲线。除此之外，他还撰写了《相切》一书。虽然这本书早已失传，但据说它求解满足各种给定相切条件的圆的构造问题。

如果我们跟踪阿波罗尼奥斯填料中的曲率，我们就会看到下面的数值，其中外圆的曲率为-6。

从其他的配置出发，就会导致如下的阿波罗尼奥斯填料：

这最后四个填料显然具有对称性：以一条水平线反射填料会使它保持不变。如果我们将对称性的概念扩大到包括圆的反演，那么这种对称性只是冰山一角。前面我们看到，将一个配置换成另一种配置可以通过圆的反演来实现。不过，稍加思考，你就会相信这些反演是整个配置的对称性。例如，如果我们在下面所示的蓝色圆圈中反演，该配置将被转为自身。

事实上，这样的对称有很多种，每一种都对应于一个配置和另一个配置之间的交换。例如，下面所示蓝色圆圈中的反演具有将填料从内向外翻转的效果。

强整数阿波罗尼奥斯填料

所有圆的曲率均为整数的阿波罗尼奥斯填料称为整数填料。上面我们已经看到，如果一个填料中的笛卡尔配置之一由四个具有整数曲率的圆组成，那么它就是整数的。

罗纳德·格雷厄姆（Ronald Graham）、杰弗里·拉格里亚斯（Jeffrey Lagarias）、科林·马洛斯（Colin Mallows）、艾伦·威尔克斯（Allan Wilks）和凯瑟琳·严（Catherine Yan）的最新研究，证明了更多的事实。首先，如果我们将圆心视为复数zj=xj+iyj，则笛卡尔圆定理具有拉格里亚斯、马洛斯和威尔克斯所发现的显著推广：

也就是说，如果我们用曲率乘以圆心来代替曲率，笛卡尔圆定理中的关系仍然成立。与以前一样，我们看到在配置上执行基本交换操作时，