庞加莱的狭义相对论之二：物理学定律的对称性_风闻

返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2022-04-25 15:56

2022-04-25

庞加莱1905年的两篇同题文章《论电子的动力学》，虽被主流学术界遗忘一百多年，但终究会被载入史册从而成为整个物理学经典中之经典。他所发现的洛伦兹群，已与量子观念一起构成了现代物理学公认的两大基石之一。他所建立的四维时空的赝欧几里得几何，让时间t与空间x，y，z 一样变为相对量，进而产生出同时性的相对性、时间膨胀、长度收缩等人们至今仍津津乐道的话题。他所建立的四维相对论运动方程，终结了牛顿运动方程对物理学长达两百余年的统治，使之变为狭义相对论的低速近似规律。他所证明的电动力学的完整协变性，让运动物体的电动力学从物理学前沿研究变成相关应用学科的必备基础，也变成大学课堂上聚讼纷纭的永恒主题。

撰文 | 金晓峰 (复旦大学物理学系)

来源 | 本文选自《物理》2022年第4期

我们在上期《庞加莱的狭义相对论之一：洛伦兹群的发现》(《文一》)中，介绍了庞加莱《七月文章》的重要发现之一：洛伦兹变换 (boost) 与空间转动一同构成了一个群。这个洛伦兹群的存在，直接导致了四维时空的赝欧几里得几何 (pseudo-Euclideang eometry)，从而奠定了狭义相对论的运动学基础。在四维时空中看，两个惯性系之间的相

质让时间t与空间x，y，z 一样变为相对量，并产生如“同时性的相对性”、“时间膨胀”、“长度收缩”等陌生而有趣的概念。百年之后回头看，对洛伦兹群发现的重要性怎么强调都不为过，因为它已与量子观念一起构成了现代物理学公认的两大基石之一。庞加莱的这一发现，或许可以看作是对毕达哥拉斯“万物皆数”的绝佳阐释，恰如著名数学家盖尔方特所说：“数学是文化的一部分，……优美、简单、精确和不可思议的思想这四个东西的组合，正是数学的核心。”

对于物理学定律的对称性，费曼曾说：“我如此详细地谈论这个具体例子，是因为它开启了物理学定律的对称性研究。正是庞加莱，他提出了可以对方程做什么而使之不变的分析；也正是庞加莱，他主张对物理定律的对称性给予重视。空间平移，时间延迟等对称性并不很深刻，但是，由均匀一致速度带来的对称性却非常有趣，而且产生了一系列后果。不止于此，这些后果还可以被拓展到我们未知的定律之中。” (I bring this particular example up in such detail because it is really the beginning of the study of symmetries in physical laws. It was Poincaré’s suggestion to make this analysis of what you can do to the equations and leave them alone. It was Poincaré’s attitude to pay attention to the symmetries of physical laws. The symmetries of translation in space, delay in time, and so on, were not very deep; but the symmetry o funiform velocity in a straight line is very interesting, and has all kinds of consequences. Furthermore, these consequences are extendable into laws that we do not know.) 那么，究竟什么是物理学定律的对称性呢？对称性对任何人都不陌生，日常生活中随处可见，比如，圆形的餐桌，正方形的地砖，左右对称的人脸等等，数不胜数。我们发现：任意一个对称的几何图形，总存在一些让图形保持不变 (leave them alone) 的操作 (what you can do)。比如，将圆形的餐桌转过任一角度，图形不会变；将正方形的地砖转过90°、180°、270°、360°，图形也不变；将左 (或右) 半脸作镜面反射，图形也不变等等。用数学的语言讲，对任一给定的几何图形，保持图形不变的操作被称为对称操作，所有这些对称操作的集合可以构成一个群。换句话说，我们称这个几何图形具有该群的对称性。所谓物理学定律的对称性，即相应物理公式的对称性，顾名思义，也就是保持方程形式不变的对称操作，这些操作也构成一个群；类似的，我们也称这个物理学定律具有该群的对称性。下面我们将会看到，庞加莱在《七月文章》中如何具体证明麦克斯韦—洛伦兹方程组等一系列物理定律具有洛伦兹群的对称性，这正是费曼所说的“It was Poincaré’s suggestion to make this analysis of what you can do to the equations and leave them alone. It was Poincaré’s attitude to pay attention to the symmetries of physical laws.”其中，他最先发现了电磁作用量的洛伦兹不变性 (the invariant action)。十多年后的1918年，Emmy Noether正是从研究对称操作下的作用量不变性出发，揭示出对称性与守恒量之间的密切关系 (Noether定理)，充分彰显了物理学定律的对称性研究之重要性。同时，正是基于对方程的对称性要求，庞加莱发现了电子的四维相对论运动方程这一原本并不存在的全新方程，这也正如费曼所说的“But the symmetry of uniform velocity in a straight line is very interesting, and has all kinds of consequences. Furthermore, these consequences are extendable into laws that we do not know. ”

本文接下来将详细介绍庞加莱《七月文章》的下述两项重要成果：(1)严格证明电动力学的完整协变性。庞加莱不仅证明了麦克斯韦方程组的协变性，而且还证明了带电粒子运动方程的协变性，从而彻底解决了长期争论不休的动体电动力学这个难题。(2)发现电子的四维相对论运动方程。庞加莱首先证明了作用量的洛伦兹不变性，并以此为基础获得了电子的四维相对论性运动方程，一举奠定狭义相对论的动力学基础，从此终结了牛顿运动方程对物理学长达两百余年的统治，使之成为狭义相对论的低速近似规律。

1 矢量的洛伦兹变换

意识到四维时空具有洛伦兹群的对称性极其重要，它直接导致了一系列影响深远的重要后果，或许这就是数学“不可思议的思想”。庞加莱正是从这里出发，严格证明了电动力学定律具有洛伦兹群的对称性；必须强调指出，电动力学完整的协变性，不仅包含麦克斯韦方程组的协变性，而且还包含带电粒子运动方程的协变性。下面我们将看到，洛伦兹和爱因斯坦都证明了无源麦克斯韦方程组的协变性。对于有源麦克斯韦方程组，洛伦兹做错了，而爱因斯坦只证明了它们与相对性原理是兼容的 (爱因斯坦原话的英文翻译是agree with) ，只有庞加莱严格证明了它们的协变性，即由洛伦兹变换从S 系中的方程组严格导出S ′系中形式完全相同的方程组。对于带电粒子的相对论运动方程，爱因斯坦没能得到，而庞加莱得到并证明了它的协变性。

图1 二维空间的转动示意图

难道庞加莱有什么“独门神器”吗？别说，他还确实有，那就是四维时空的赝欧几里得几何！为了清楚地说明这点，让我们以二维空间的转动为例[1]。如图1所示，将(x，y )坐标轴逆时针旋转φ角度可得(x ′，y ′)坐标轴，矢量r 在这个转动过程中保持不变，它在S ′系和S 系的关系式如下：

显然，若没有四维时空的图像，这个结果是不可想象的。接下来我们将会看到，这一矢量变换式在相对论动力学中起了至关重要的作用，这也可以算是庞加莱的“独门神器”吧。

庞加莱当然非常清楚这一点。在《文一》中笔者曾经指出，他显然比任何人都清楚《七月文章》的第4节应该放在第1节才是顺理成章的文章写法，但为了避免“喧宾夺主”，他没有这么做。或许不少读者对此不以为然，认为这只是笔者的过度解读而已。事实上，庞加莱在《六月文章》(即《七月文章》的详细摘要) 的引言 (背景介绍) 之后，紧接的是下面这段话 (完全是第4节的结论)：

“在这个(洛伦兹)变换中，x 轴扮演了特殊的角色，但我们显然可以构造这样的变换，在这里某一条通过原点的直线将扮演这个角色。所有这样的变换加上所有的空间转动的整个集合构成了一个群；但这必须要求l=1，这正是洛伦兹用另一种方式得到的结果。”

首先，庞加莱更正了洛伦兹1904年文章中的两个错误。当然，一如既往，他不说洛伦兹做错了，而是说“(我)这里的公式与洛伦兹之前得到的不太一样(different somewhat)”，典型的庞加莱风格！因为要证明有源麦克斯韦—洛伦兹方程组的协变性，所以必须要知道电荷密度ρ与电流密度ρu 在洛伦兹变换下如何变换，这是问题的核心也是难点。下面是庞加莱的正确结果：

其次，庞加莱给出了洛伦兹变换下力的正确变换公式。必须指出，无论是证明 (庞加莱版本) 或者说明 (爱因斯坦版本) 有源麦克斯韦方程组的协变性，相对于证明无源麦克斯韦方程组的协变性，都是一个重要进展，但这还不是电动力学或电磁规律的完整协变性。只有在进一步证明带电粒子在电磁场中的运动方程也是协变的，电动力学的协变性才算完整；这当然要以能得到电子相对论运动方程，即超越牛顿第二定律的运动方程为前提。在当今的教科书和文献上，相对论运动方程几乎都被冠以爱因斯坦的名字，但不得不说，这个方程与爱因斯坦真没关系，因为至少到1907年他还不知道如何对力进行变换 (具体内容见后)。下面是庞加莱对三维力的变换结果。