撰文 | Tony Foster、Sai Venkatesh、Zoheir Barka、the Plus team
翻译 | C&C
审校 | zhenni
乘法表可以追溯到4000多年前的巴比伦人。最早的十进制的例子出现在大约公元前300年的中国，由竹简制作的乘法表可以计算小于99.5的整数和半整数的乘积；此外我们可辨认的还有大约公元100年时，尼可马库斯（Nichomachus）在他的《算术导论（Introduction to Arithmetic）》中提到的毕达哥拉斯表。
最早的十进位乘法表之一——《算表》，参见《战国时期的“大九九”计算工具——清华简《算表》》。出现在大约公元前300年的中国，用竹简构造而成。
如今在学校里，乘法表是学生们通过死记硬背和快速记忆练习来学习乘法的工具。虽然有些人认为掌握乘法表本身就是一种成就，但此外它还为学生打下了坚实的数学基础。让我们来深入研究一下，从一些有趣的视角来揭示隐藏在乘法表的奥秘。
三角形数
在解释什么是三角形数之前，让我们看看这个乘法表，以及我们可以用它来做什么。表中的第一行和第一列都包括了数字1到10，而其他的方格中填充了所在行中的第一个数字与列中第一个数字的乘积。
我们在表格的顶部和左侧各添加一行/列0，仍然是一个乘法表，只是便于我们看出下面的一些图案。
现在，我们把2的倍数（所有的偶数）对应的方格都涂上蓝色。这意味着，与2的倍数对应的所有行和列也都是蓝色的，这样我们就得到了一个蓝色的网格。不在这个蓝色网格中的方格都是白色的。(这里我们在水平方向和竖直方向将表格扩展到了数字16。)
现在，我们把所有3的倍数的方块都涂成蓝色。和前面一样，我们得到了一个蓝色的网格，其中的行、列均对应于3的倍数。中间剩余的四个白色方格组成了一个更大的正方形（2×2=4）:
如果我们把所有4的倍数的方块都涂成蓝色，同样可以得到一个蓝色的网格。在这种情况下，蓝色网格外的地方构成包含3×3=9个小方格的正方形，这些正方形并不完全是白色的，因为中间的方块是蓝色的。出现这种情况是因为4不是质数。
一般来说，如果你选择一个正整数k并且用蓝色表示乘法表中所有k的倍数，那么你会得到一个相应的蓝色网格，剩下的(k-1)2个小方格会组成一个正方形。k是否为质数决定了这些正方形是纯白色还是包含一些蓝色小方格。
这很有趣，我们换一个k. 下图是我们从k=6得到的图案（你可以很容易地想象k=5的图案，因为5是质数）。
让我们看看三角形数如何出现在图中。三角形数是一种数字，它可以用一组点构成的图案来表示，这些点排列在一个等边三角形中，每边有相同数量、间距相同的点。
例如:
第一个三角形数是1，第二个是1+2=3，第三个是1+2+3=6，第四个是1+2+3+4=10，以此类推。通常，第n个三角形数Tn是从第一个数1到n的和：
我们怎样才能在乘法表的方格里找到这些神奇的数字呢？首先，让我们再看一下乘法表，其中3的倍数对应的方格是蓝色的。（我们忽略了蓝色是2的倍数的乘法表，因为数学家们认为它是平庸的（trivial）：没有什么意思）。乘法表中3的倍数涂成蓝色之后的第一个白色方块是这样的:
把这个白色正方形里的数字加起来得到：
9不是一个三角形数，但它是一个三角形数的平方。准确地说，它是第二个三角形数T2的平方。
现在，我们来看看将乘法表中4的倍数对应小方格涂成蓝色之后得到的第一个白色正方形:
把这个正方形里的数字（包括中间蓝色小方格里的数字）加起来得到结果：
在这种情况下，和等于第三个三角形数的平方。
用不了多久，你就会发现k=5和k=6也有同样的规律。
当k=5时，第一个正方形里的数字之和：
当k=6时：
这是一个普遍的规律吗？
我们把任意一个k的倍数涂成蓝色，都是这样的吗？如果是，那么将乘法表中k的倍数涂成蓝色之后围成的第一个正方形内所有数字求和之后，便能求得第k-1个三角形数Tk-1。
我们来看看这是否正确。乘法表中，我们会看到第一行方块的组成数字是：
第二行由这些数字乘以2:
第三行由第一行中的数字乘以3:
