数学史和数学教育：个人的经验和看法_风闻

撰文 | 萧文强（香港大学数学系）

1

我怎样跑进数学史打转？

1974年夏，我在美国一所大学里教书。有一天系主任匆匆跑来告诉我有位同事摔倒断了腿，得休养一段日子，叫我代他的课。没有别的人愿担那门课，当时我刚到任两年，论年资乃最浅，“苦差”自然落在我的肩上！为什么没有人愿担那门课呢？原来那门“数学欣赏”课虽然名字漂亮动听，实则是一门专为非理工科学生而设的数学课，好让学生取得足够学分以满足通识教育的要求，把它称作“厌恶数学的人被迫上的数学课”，或更贴切！第一天上课，一百五十多位学生劈头便嚷：“我又不需要使用数学，为什么要学习数学？”顿时令我哑口无言！但这也令我首次从一个不需要使用数学作为工具的人的眼光去想这个问题。（过了四年后，我真的写了一本小书，书名就叫做《为什么要学习数学？》，记下了当时我的初步看法。）

为了应付“苦差”，在九月开课前我“恶补”一番，拼命读书做笔记，又反复思量。经过消化大量材料后，我认识到哲学的省思和历史的省思的重要，尤其从数学史获得不少启发。渐渐我不单为备课而看书了，后来它更成为一种学习兴趣，至今不减分毫。更想不到的，这种兴趣竟然孕育了一种鼓舞，不只使我对数学的整体认识得到提高，还使我对数学的信念和热爱得到增强。看来，“苦差”竟成了“优差”呢！

2

谁需要数学史？

“谁需要数学史？”和“谁需要数学史！”表明了两种不同的态度，前者意味开放的探讨，后者意味既定的否定看法。归根结底，这两种不同的态度，其实反映了不同的“数学观”，在第四节我们要回到这一点。暂时，让我们开门见山，胪列一些运用数学史于数学教学的理由和方法。这些观点散见诸为数不算太少的中西文章，恕我不一一列明出处了。以下的总结，取材自J.Fauvel的文章“Using History in Mathematics Education”（刊于For the Learning of Mathematics，Vol.11，No.2，1991，3- 6页），我试把内容整理为以下几点。

运用数学史于数学教育的理由：

（1）引发学习动机，从而使学生（及教师本人）保持对数学的兴趣和热情。

（2）为数学平添“人情味”，使它易于亲近。也使学生明白前人创业的艰辛，并且明白到不应把自己碰到的学习困难归咎于自己愚笨。同时，教师也可以从历史发展中的绊脚石了解学生的学习困难，可以参考历史发展作为计划课题安排的指引。（在这儿要提醒一点，参考历史发展作为指引，绝不等同完全按历史发展去讲授，因为真正的历史发展有时非常迂回曲折，后人视之，往往难以理解！）

（3）了解数学思想发展过程，能增进理解。对比古今，能更好明白现代理论和技巧的优点。

（4）对数学整体有较全面的看法和认识。

（5）渗透多元文化观点，了解数学与社会发展的关系，并提供跨科合作的通识教育。

（6）数学史提供学生进一步探索的机会和素材。

运用数学史于数学教育的方法：

（1）在讲课中加插数学家的轶事和言行。

（2）开始讲授某个数学概念时，先介绍它的历史发展。

（3）以数学史上的名题及其解答去讲授有关的数学概念，以数学史上的关键事例去说明有关的技巧方法，以数学史上的著名错误或误解去帮助学生克服学习困难。

（4）利用原著数学文献设计课堂习作。

（5）指导学生制作富数学史兴味的墙报、专题探讨、特辑、甚至戏剧、录像、……

（6）在课程内容里渗透历史发展观点。

（7）以数学史作指引去设计整体课程。

（8）讲授数学史的课。

与其把以上逐点详加解释，不如让我从个人经验中抽取一些事例，说明如何在教学上运用数学史。固然，这些个人的做法，可能失诸片面，也可能流于主观，但或许仍能起一点参考作用吧。在下一节我只列举在其中取材的书本或文章，适当地加点按语。这束事例是在不同的课上运用，如果读者感觉叙述上比较散漫凌乱，还请原谅，并且请用一种多元眼光看待它。这些事例也并不企图包罗众多的数学史参考材料，请读者不要把它视为一张参考书目。

3

事例一束

（1）数学家画像（在很多书本上都能找到）

不少人提到数学史便想起人物、画像、轶事。有些课本标榜采用数学史也只限于加插一些数学家的画像或小史。固然，这些有它的作用，但我们必须明白，历史断非一连串的名字和画像而已。

（2）E. T. Bell的“Men of Mathematics”（1937年，1965年再版）

这本名著收录了三十多位数学家的小传，其中不乏多姿多彩的故事，能为课堂平添不少情趣。有些含寓意的故事，更能达致一本正经式说教未必能达致的效果。不过读者要小心，这本通俗名著的内容，有些不一定翔实，容易以讹传讹。

（3）C.Reid的“Hilbert”（1970年）

这本书并不单为Hilbert立传，还传神地描绘了十九世纪后半期至二十世纪前本期德国数学界的活动和气氛。书里没有一点技术内容的讨论，但每读一遍我都获益一次。我甚至愿意推荐它为一本每位对数学有兴趣的人必读之书！

以上三种可归作一类，跟着的几种可归作另一类，我管叫它们数学通史。

（4）F. Cajori的“History of Mathematics”（1893年，1919年二版，1980年再版）

（5）D. E. Smith的“History of Mathematics”（1925年，1958年再版）

（6）C.B. Boyer的“A History of Mathematics”（1968年，1989年二版）

上两本数学通史较旧，这本较新。它是一本材料丰富而且很好读的数学通史，适宜让学生自己阅读。如果一位数学教师只愿购买一本数学史参考书放在案头，我会介绍这一本。

（7）M. Kline的“Mathematical Thought From Ancient to Modern Times”（1972年）

这是一本非常详尽的数学通史，着眼点在于数学内容，适合专修数学的人。全书偏重近代西欧数学，对东方古代数学只略提甚至完全不提（例如中国古代数学），诚美中不足！

（8）梁宗巨的《世界数学简史》（1980年）

这本书收集了不少关于中西数学名词的由来，十分有用，在别的书本不常找到这些数据。

（9）鲍尔加尔斯基的《数学简史》（中译本，1974年，1979年二版）

这本苏联数学史教科书，比西方同类书本花较多篇幅论及社会发展和数学发展的互动关系。

以下几种是古代东方数学通史，可补充通常西方数学史书简略了的部份。

（10）O.Neugebauer的“The Exact Sciences in Antiquity”（1957年二版，1969年再版）

作者基于1947年康乃尔大学通俗讲座写成此书，内容包括古代埃及、巴比伦、希腊的数学史和天文学史，乃作者本人的研究专长。

（11）钱宝琮的《中国数学史》（1964年）

（12）G.G. Joseph的“The Crest of the Peacock”（1991年）

这本书的副题名“数学的非西欧根源”，由此可知它的内容强调那一方面了。

下面一种可谓独树一帜，是记录大全式的典型巨著。

（13）L.E. Dickson的“History of the Theory of Numbers，Vol.I，II，III”（1919- 1923年）

这本书并不适宜用作阅读，只宜用作参考查阅，在那方面大概没有那本书的资料比它更齐全了。

以下几种属专题数学史研究的著作，各具特色。

（14）C.B. Boyer的“The History of Calculus and Its Conceptual Development”（1949年，1959年再版）

（15）W.R. Knorr的“The Evolution of the Euclidean Elements”（1975年）

作者在书中提出新观点，重新审视古代希腊数学史。

（16）D.H.Fowler的文章Ratio in Early Greek Mathmeatics（刊于Bulletin（New Series）of the American Mathematical Society，Vol.1，NO.6，1979，807- 846页）

作者基于上述Knorr书中提出的新观点，继续深入探讨阐述。

（17）J.W.Dauben的“Georg Cantor：His Mathematics and Philosophy of the Infinite”（1979年）

这本以单一个数学家为名的书并不仅是他的传记而已，它的主要内容在于探讨一个重要的数学思想的来源、发展和影响。

（18）J.Lutzen的“Joseph Louville，1809- 1882：Master of Pure and Applied Mathematics”（1990年） 这本数学史专著，也是环绕一个数学家的工作，叙述他处于的那个时代的数学思想。

（19）A.Weil的“Number Theory：An Approach Through History from Hammurapi to Legender”（1984年）

这本是以数学内容为主的数学史研究专著，较适合专修数学的人。

（20）H.Edwards的“GaloisTheory”（1984年）

这是另一本以数学内容为主的数学史研究专著。跟着的几种是原著数学文献及其注释。

（21）A.B.Chace的“The Rhind Mathematical Papyrus”（1927- 1929年，1979年再版）

有时单单望着这份最古老的数学文献，已使人发思古之幽情，景仰之心亦油然而生。

（22）白尚恕的《九章算术注释》（1983年）

《九章算术》乃我国古代的辉煌数学文献，除了它的数学价值以外，更多添了一份民族自豪。

（23）T.L.Heath的“Euclid：The Thirteen Books of the Element”（1908年，1925年二版，1956年再版）

除了原文和注释外，全书还包含很多非常有用的材料。

（24）L.Euler的文章Solutio Problematis and Geometriam Situs Pertinentis”（1736年，可见诸N.L.Biggs，E.K.Lloyd，R.J.Wilson的“Graph Theory：1736- 1936”，1976年）

这篇分为二十一节的文章，把七桥问题抽丝剥茧，给出解答，还把解答推广至一般情况，可视作解难的典范。它也是图论发展史上的一篇奠基性质论文，值得全文通读。

（25）R.Dedekind的文章Continuity And Irrational Number（1872年，可见诸R.Dedekind的“Essays on the Theory of Numbers”，1901年，1963年再版）

这是另一篇值得由首至尾细读玩味的原著，从中可以看到一个数学思想清清楚楚浮现出来。

（26）D.Hilbert的演讲文稿Mathematical Problems（1900年，译文刊登于Bulletin of the American Mathematical Society，Vol.8，1902，437- 479页）

这是一篇有名的历史文献，尤其开首和结尾很有意思，亦富文采。

（27）H.Lebesgue的文章The Development of the Integral Concept（1926年，可见诸R.Calinger编著的“Classics of Mathematics”，1982年）

这篇小品由大师执笔，以通俗语言介绍他自己的重要发现，可谓自身说法了。

（28）Al- Khwarizimi的“Hisab Al- Jabr Wal- Mu- qabala”（约830年，片断可见诸D.J.Struik编著的“A Source Book in Mathematics：1200- 1800”，1969年和J.Fauvel，J.Gray编著的“The History of Mathematics：A Reader”，1987年）

“代数”英文词的由来，便是源自这本书名的第二个字。这段故事可用作联系中学代数（方程式解法）和大学抽象代数的开端。

以下两种，严格说来不算是数学史，但作者的历史眼光却处处流露，使全书带有浓厚的历史气息。

（29）G.Polya的“Mathematics and Plausible Reasoning”（1954年）

从数学家的角度讨论数学思想方式，这是最好的书。

（30）I.Lakatos的“Proofs and Refutations”（1976年）

全书以多面体的Euler- Descartes公式为主线，阐述作者的数学哲学观点。书中充满发人深省的事例和问题。

以下三种都是数学名家的书信。

（31）F.Bolyai和J.Bolyai父子之间的通信（约1823年）

在信上父亲劝诫儿子不要耗费时间精力于平行公理这个问题上。而儿子却回复父亲，他已从一无所有创建了奇怪的新世界（指双曲型几何）。父亲的信凄婉动人，儿子的信激荡人心！

（32）A.Cayley写给J.J.Sylvester的信（1857年）

Cayley在信上解释他刚获得的一项成果，就是今天称作Cayley- Hamilton定理。在线性代数课堂上我必展示这封信，由它开始讲解。

（33）W.R.Hamilton写给儿子的信（约1865年）

在信上Hamilton忆述他发现四元数的经过。

最后几种是综合有关文献经整理后得来的。

（34）Euclid的“Elements”卷一部份

介绍平行公理和其他定理的关系，作为介绍非欧几何的引子。非欧几何的发现是数学史上影响深远的一桩大事，值得在课上讨论。

（35）Euclid的“Elements”卷七部份和《九章算术》卷一部份

比较中西古代对今天称作欧氏算法的讨论和它的应用。

（36）Euclid的“Elements”卷七、卷九部份和C.F.Gauss的“Disquisitiones Arithmeticae”（1801年）第一节部份

介绍今天称作算术基本定理，分析它的证明。

（37）从历史看函数概念的发展，由静态（表值）至动态（几何化）再至计算（代数化）然后回复至静态（射）的“螺旋式”发展，颇有返璞归真的味道。（见M.K.Siu，Concept of Function：Its History and Teaching，Revised Version，HKU Research Report HKUM- 91- 10，1991）

4

数学史真的有帮助吗？

从上一节所举的事例中，读者大概能意会到我心目中的“可运用的数学史”是指什么吧？它不单指人物、轶事、谁何时发现什么、……，它也不等于专门数学史家的研究工作。固然，我们绝不排除这些材料，它们是不可缺少的帮助。我是以一个数学工作者和数学教师的身份看待数学史，不论是原著、二手材料、论述或者故事、传记，都是我们的营养品，值得我们学习、消化、运用。通过这些材料，我们看到多姿多彩的数学意念如何产生，明白到它们如何演变成为今天熟悉的形式，也从这些发展演变当中认识到创造这些知识的人，产生这些人和这些知识的客观条件，还有这些知识的社会作用和它对文化的影响。十八世纪德国文豪Goethe说过：“一门科学的历史就是那门科学本身。”用诸于数学，我们不妨说：“数学史就是数学本身。”所以，吸收和运用数学史，既充实了自己，也丰富了教学。

对于运用数学史于教学的建议，最常碰到的消极反应有两种：

（1）“我要教的是现代人用的数学，管它古代人怎么做数学呢？那些老古董顶多拿来作点缀而已，它并不是真正的数学。即使你说从数学史能窥探数学的本质和意义，那又与我何干？我不是研究哲学的，我只想把数学教好吧。”

（2）“虽然我承认数学史既有益又有趣，但我那儿来这份闲情逸致去运用它？单是要在规定的时间内教懂这一大群程度参差的学生规定的课程范围里的数学，已够忙的！”

这两种反应貌似不同，实则反映了同一件事：在数学教育中，我们往往只强调实用知识这一个目标。不同时代不同地区的数学课程纲要，内容和使用字眼或许不相同，但笼统扼要地说，它们的目标都可以分为三方面，即是：（1）思维训练、（2）实用知识、（3）文化素养。但往往我们只注重（2），把数学单单作为一种技能、一种工具去讲授。这样做的话，纵使传授了知识，亦必掩盖了数学作为文化活动的面目。学生不易了解数学有它的生命和发展、有它的过去和未来；学生容易把数学看成是一堆现成的公式和定理，虽然完美无误但也是僵硬不变而且刻板枯燥；学生见到的尽是技巧堆砌和逻辑游戏，予人闭门造车的印象。难怪只有极少数学生被数学吸引了，也有少数一些学生为了日后需要使用这种工具姑且把它捱过去，其余绝大部份学生都与数学疏离，或者厌恶害怕它，或者对它持泠漠态度。很多学生中学毕业了，却像完全没有学过数学这科，只当它是一场恶梦！

数学教学有“狭义”和“广义”两方面：前者是指传授数学知识，后者较难界定，笼统地说它是指“数学观”的体现。什么是“数学观”呢？有些人以为那是抽象的哲学问题，其实它并不抽象，你的数学观就是你对数学的看法、你对数学本质和意义的见解。每个人总有自己对事物的看法，因此每个人一定有自己的数学观。（如果你认为毋须理会数学的本质和意义，那也是一种数学观！）每个社会的成员的数学观汇集起来，其主流即形成该社会的数学观。千万不要小看这一点，千万不要以为数学观与数学教学无干。就个人而言，不论你自觉也好，不自觉也好，你的数学观必定流露反映于你的教学中，从而影响了你的学生。就整个社会而言，证诸历史，数学和数学教育的内容及发展，决定于当时当地的数学观。

以前我曾在一篇题为“数学·数学史·数学教师”的文章里谈到数学上的“才、学、识”（刊于《抖擞》双月刊第53期（1983年7月），67- 72页），这个提法是源于清代文学家袁枚的话：“学如弓弩，才如箭镞，识以领之、方能中鹄。”于数学而言，才是指计算能力、推理能力、分析和综合能力、洞察力、直观思维能力、独立创作力、……；学是指各种公式、定理、算法、理论、……；识是指分析鉴别知识再经融会贯通后获致个人见解的能力。如果把这三点套用于上述的两方面，“学”便对应于狭义数学教学，而“才、学、识”三者合起来才对应于广义数学教学。至于这两方面的功能，大别之或者可以这样说：狭义数学教学达致的社会功能，就短线而言乃日常计算或专业需要，就长线而言乃数学研究及科技进展，总而言之，数学是一种工具。广义数学教学达致的还有教育功能，这包括数学思维伸延至一般思维，培养正确的学习方法和态度、良好学风和品德修养，数学欣赏带来的学习愉悦以至对知识的尊重。

单单传授知识，从广义的角度看自然是一个失败。近代哲学家A.N. Whitehead说过：“教育是使人获得如何使用知识的艺术。”他也说过：“文化素养包含思维活动与对美和善的感受，而非单单零碎的知识。仅仅拥有知识的人是天下间最没用的讨厌家伙，我们的目标在于培养既具文化素养又具某种专业知识的人。”即使从狭义的角度看，只注重操练数学技能也不见得传授了知识。这样做可能使学生应付过了考试，但却使大部份学生丧失兴趣、好奇心、批判能力、自学能力、甚至表达能力。总的而言，学生既感受不到一种学习愉悦，也就难于养成一种对知识的尊重了。表面看起来，亚洲学生的数学测试成绩排名居世界前列，这从几届国际数学教学评估报告中可以看到。但我对这点可不敢沾沾自喜。会不会我们在技术内容方面要求过高，以致忽略了别的方面，而付出的代价就是那些不能在短期内以标准测试方式量度的质量呢？小孩子本来都很喜欢学习，对什么也感兴趣。进了小学后，有些人不再喜欢学习了；进了中学后，更多人不喜欢学习了。原来是有趣的事物，由于不用考或没法考，变为没趣！那些要考的，却由于要考，也变为没趣！到头来什么都没趣了，这岂非“自讨没趣”吗？

除了传授知识以外，数学教师更有责任培养学生的数学素养、眼光和品味。固然，这不是一桩轻而易举的工作，但只有身在第一线工作的教师才能肩负这项任务，再周全再详尽的课程纲要亦只能起指引作用而已。数学教师应该设法在日常教学里渗透这种文化观点和历史眼光，让学生畅泳其中，渐渐形成自己的数学观。要这样做，教师必须充实自己的学识。数学的学识可作纵横看，纵是追溯数学概念和理论的来龙去脉，横是认识数学的本质和意义，经纬交织而成。一个数学教师也像一个独奏表演者，凭着自己的理解、领会、功力去诠释音乐作品。要作美妙的诠释，表演者本人必须先了解该作品和喜爱该作品。数学教师亦复一样，要把数学教好，教师本人必须保持自己对数学的兴趣和热情，充实自己的学识，培养那种文化观点和历史眼光。在这几方面，数学史肯定是有帮助的。让我引用一段著名科学史家G.Sarton的话作为本文的结束：

“数学史家的主要任务，同时又是他最钟爱的特权，就是诠释数学的人文成分，显示数学的伟大、优美和尊严，描述历代的人如何以不断的努力和积累的才华去建立这座令我们自豪的壮丽纪念碑，也使我们每个人对着它叹为奇观，感到谦逊而谢天。学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家。学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们的高雅质量。”

（《数学史的研究》，1936年）

本文经授权转自：数学传播。

特 别 提 示

1. 进入『返朴』微信公众号底部菜单“精品专栏“，可查阅不同主题系列科普文章。

2. 『返朴』提供按月检索文章功能。关注公众号，回复四位数组成的年份+月份，如“1903”，可获取2019年3月的文章索引，以此类推。