流体力学的另一个江湖_风闻

如果将传统流体力学形容为一个江湖，N-S方程无疑是这个江湖最伟大的传说，只可惜这本“旷世秘籍”没有人能解开。于是流体江湖的三位大佬——雷诺、布辛涅司克和普朗特各自使出了自创的神功“雷诺平均的N-S方程”、“涡粘性假设”以及“混合长度理论”，将无法求解的N-S方程劈开了一个口子，从而开启了计算流体力学百年的RANS时代。

而近三十年来，尤其是进入新世纪以后，一种基于LBM的CFD方法慢慢走入大众的视野，无论是思想、方程还是实际操作过程都和传统CFD完全不同，甚至有传统CFD大佬直呼“It’s a magic”。随着LBM在工业领域的大放异彩，人们开始关注LBM的历史和今天。相对于N-S方程，LBM更像是流体力学的另一个江湖。

撰文 | 卢比与钢蛋

01 LBM中的L才是源头？

LBM（Lattice-Boltzmann Method）中文译为“格子玻尔兹曼方法”，自然以玻尔兹曼输运方程和麦克斯韦-玻尔兹曼分布为根基，不过在这个名字中，首当其冲的“格子”二字，才是LBM几十年发展的源头。而要问“格子”到底是从哪里来的，则必须从LBM的前世老祖——元胞自动机（cellular automata，缩写为CA）说起。

自动机，顾名思义就是自己可以动的机器，比如鲁班造的木鸢、孔明先生的木牛流马（手动狗头）。从计算理论上来说，自动机指的是一种抽象的自行式计算设备，自动遵循预定的操作顺序。

而元胞自动机指的是有一组规则的元胞（或格子），每个元胞都有某些状态（比如白或黑），当分配好初始的状态和演变规则后，下一个时刻元胞的状态由前一时刻的状态和周围元胞的状态确定，类似于我们玩过的贪吃蛇游戏。

元胞自动机天然是一种时空离散的计算模型，其概念最早由斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）和冯·诺依曼（Von Neumann）于1940年代提出。他们当时在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室工作，后来许多LBM领域的先驱也曾研学于此。

02 当格子遇见流体力学

元胞自动机的概念催生了一些应用，比如细胞生长、沙丘堆积、城市发展的预测等等，其特点是使用微观粒子的时空积叠来描述宏观现象。而在流体力学领域，最初的应用典范便是格子气自动机（Lattice Gas Automaton，缩写为LGA）。

格子气自动机使用布尔变量表示流体粒子在空间格子上的存在与否。在格子气自动机中，流体粒子存在于这些格子上，并严格按照格线迁移或者碰撞。这些粒子的演化只与自身状态和相邻粒子相关，因此可以方便的进行分区计算。

而粒子的有无仅用0和1便可表述，不存在迭代的收敛问题。这与传统求解流体问题的思路大相径庭而又容易理解，当时这种方法风靡一时，甚至被誉为划时代的方法而登上了华盛顿邮报的头版，如同一入江湖便风头无限的少侠。

1972年，法国学者J. Hardy，Y. Pomeau和O.de Pazzis提出了第一个LGA模型，即HPP模型；1986年，U. Frisch，Y. Pomeau和美国学者B. Hasslacher提出了一个对称度更高的正六边形的LGA模型，即FHP模型，该模型成功的恢复了不可压缩N-S方程。而在Physical Review的125周年纪念专刊上，这篇文献也成为唯一入选的流体类文章。

少侠的出场虽然霸道，可是想要成为大侠尚需时日。随着方法的深入研究，人们发现LGA也有其天生的缺陷。对于湍流问题，LGA由于自由度（速度方向的数目）太低难以精确描述；而布尔运算又在局部带来了明显的数值噪声；更重要的是，通用计算机已朝着浮点运算的方向迅猛发展，只进行布尔运算则效率很低，人们不得不专门研制硬件。

03 LBM的雏形

为了应对LGA的种种缺陷，1988年McNamara和Zanetti从分子混沌的假设（忽略分子之间的相关性）出发，把LGA中的布尔运算替换成实数运算，粒子不再是0或者1，而演化为大神玻尔兹曼的分布函数f，并用玻尔兹曼输运方程代替了LGA的演化方程，叩开了格子波尔兹曼方法的大门。1989年，Higuera和Jimenez又引入平衡态分布函数feq简化了碰撞算子。

随后，LBM的发展迎来了华人之光。1991年，陈十一、陈沪东以及J.M.V.A. Koelman等学者分别独立提出了基于BGK单松弛模型将碰撞算子线性化的思路，即以控制趋近平衡态快慢的方式简化碰撞算子；而后，钱跃竑和陈沪东等学者又分别基于不同形式的格子和BGK模型，并使用麦克斯韦-玻尔兹曼分布来代替平衡态函数feq，并恢复了N-S方程。从此以后LBM开启了从少侠走向大侠的武学探索之路。

值得一提的是，上述方法源自于1954年Bhatnagar、Gross和Krook为简化玻尔兹曼输运方程而提出的碰撞间隔理论，又被称为格子BGK模型（即LBGK）。看来想要成为一代武学大师，还是需要旁征博引，啥武功都要会一点。

04 从LBM到流体力学

相对于LGA，LBM有两个巨大的优势：

在方程左侧利用统计函数消除数值噪声在方程右侧使用碰撞算子的连续函数代替离散的碰撞规则

于是，LBM在速度分布函数和LBGK的加持下，就如同武林高手打通了任督二脉一样，展现了巨大的优势和潜力。

在LBM方法中，速度分布函数f依赖于位置与时间，因此在传统力学（物理量是位置和时间的函数）框架下，f依然是个连续的量——这也是它在宏观框架下亦能代表流体运动的基本依据。同样，由于f同时包含了位置、速度、时间的信息，而压力、密度等宏观变量通常只与位置和时间相关，因此如果对微观速度进行积分而移除其依赖性，即可得出各类宏观变量。

如下图所示，如果对分布函数、粒子质量及微观速度等的组合进行统计，则可得出宏观的密度、动量和能量。压力是粒子动量的体现，而温度被粒子动能表征，宏观速度则最直接，它是微观速度的期望——这些参数都可由移除微观速度依赖性的积分得出。LBM表面上看还是离散的方程，却有连续的属性——因此它一定程度上也具有欧拉以及N-S方程求解器的特质，相比LGA更为贴近于传统理解的流体力学。

对于被LBGK所代替的碰撞项，也具有丰富的内涵——人们虽然不再纠结于粒子之间的相互作用力与碰撞方式，而是把它简化为刚性碰撞，但即便是刚性碰撞，也需要复杂的积分才能完成，而LBGK完成了碰撞算子的线性化。另外，LBGK描述了原始碰撞的零阶物理过程，这也意味着，如果想使用LBM求解复杂本构关系的物质，只需要修改碰撞项即可。

05 从LBM到CFD

从LBM到流体力学，仿佛郭少侠南下中原之后，跟随洪七公学习降龙十八掌。理论上降龙十八掌是天下第一刚猛的武功，可是郭少侠使出来效果如何，那就要去真正的江湖上试一试了。LBM从理论上搭建了微观速度分布函数和宏观物理量之间的关系，那么LBM究竟如何在计算流体力学的领域施展自己的抱负呢？相对于传统CFD的求解过程，基于LBM的CFD可谓是大道至简，用尽全身的力气打出去这一掌就可以了。

如上图所示，LBM的实施流程为：首先对全部格子的流场进行初始化，然后施加粒子的输运和边界条件算出中间过程的分布函数f*，而后求出密度和宏观速度，再计算此状态下的平衡态函数，最后施加粒子的碰撞，得出更新的速度分布函数f，此后就是循环迭代，直至计算结束。

LBM凭借着其独特的技术优势在学术界和工程领域得到越来越多的关注。不过，也总给人感觉有点“根不正，苗不红”，正如大漠的人们都以为郭靖是个落难的孩童，却不了解郭靖乃是梁山好汉的后代。接下来我们就从统计物理出发重新推导LBM，为其正名。

06 LBM江湖的上古大神

19世纪中期，气体动理论的主要奠基人克劳修斯（Clausius）、麦克斯韦（Maxwell）和玻尔兹曼（Boltzmann）三人引进了统计概念，将宏观理论和微观基础联系了起来。1902年，Gibbs（吉布斯）把Maxwell和Boltzmann所创立的统计方法发展为系综理论（Ensemble Theory），使原来仅适用于气体的理论，推广到气体、液体和固体，并发展为今天的统计力学。

玻尔兹曼输运方程（Boltzmann Transport Equation，简称BTE或BE）诞生于1872年，而LBM则于1990年代左右由LGA发展而来，不过LBM诞生之初时，并没有跟连续的玻尔兹曼方程建立关联。后来人们逐渐认识到此问题的重要性——即从统计物理的角度重新审视并构造LBM。

如下图所示，针对玻尔兹曼输运方程，首先使用BGK模型将碰撞算子线性化，然后在指定坐标系下进行时空离散得出LBGK方程，最终对平衡态函数进行泰勒展开并略去高阶项，即可得出LBM的控制方程以及各项参数。

通过上述的推导，可以发现LBM是简化玻尔兹曼方程的一种特殊离散形式。由此，LBM终于找到了自己名正言顺的身份，有了各位上古大神的坐镇，加上近几十年来，华人科学家的巨大贡献，LBM也终于开宗立派，创建了属于自己的江湖。

结语

LBM方法从最初的低雷诺数、不可压缩流动的计算，历经日复一日的修炼升级，多年以后俨然自成体系，形成了另一个江湖。不过相比于公认的“旷世秘籍”N-S方程，人们对LBM能否反映真实的流体世界一直心存怀疑。本公众号将在后续推送更多的文章，揭示LBM闯荡流体江湖的心路历程，敬请期待。

本文经授权转载自微信公众号“LBM与流体力学”。