天机运化，人道可窥；数度相推，算必程式_风闻

  总论

天机运化，人道可窥；数度相推，算必程式。

然而谬言数有神理者，在中为推衍预言，在西为名称义理循辨。

《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）撰成，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。

    唐初开始单行，体例亦是应用型的问题集形式。研究的对象全是有关高度与距离的测量。

所使用的工具也都是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒。

有人说是实用三角法的启蒙，不过其内容并未涉及三角学中的正余弦概念。

所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远。

   此卷书被收录入明成祖时编修的永乐大典中，现保存在英国剑桥大学图书馆。

《海岛算经》共设九问，均是利用表尺从不同位置多次测望，取多次测量所得的差数，进行计算从而求得山高或谷深，这就是刘徽的重差理论。

《海岛算经》中，从题目文字可知所有计算都是用筹算进行的。“为实”指作为一个分数的分子，“为法”指作为分数的分母。所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸：1里=180丈=1800尺；1丈=10尺：1步=6尺，1尺=10寸。

第一题：

  今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？

  答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。

  术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表数。

今人解答：

AA’和BB’是两根标杆（两表），现在的目标是测量CD的高度（岛高）和CA的距离（去表）。

已知从P点通过A’刚好望到D，从Q点通过B’也刚好望到D。则根据相似三角形属性：

CD/CP = AA’/AP

CD/CQ = BB’/BQ

∵AA’=BB’ → CP/AP = CD/AA’ = CD/BB’ = CQ/BQ

(CA+AP)/AP = (CA+AB+BQ)/BQ

CA/AP = (CA+AB)/BQ

CA*BQ = (CA+AB)*AP = CA*AP + AB*AP

CA*(BQ-AP) = AB*AP

CA = AB*AP/(BQ-AP)

CD = CP*AA’/AP = (CA+AP)*AA’/AP = CA*AA’/AP + AA’ = AB*AA’/(BQ-AP) + AA'

【术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表数。】这里【表高】=AA’，【表间】=AB，【相多】=BQ-AP，【前表却行】=AP，跟以上两道等式完全吻合！

【今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？】

这里以步作基本单位：

【表高】=3丈=30尺=5步（AA’=5），

【表间】=1000步（AB=1000），

【前表却行】=123步（AP=123），

【后表却行】=127步（BQ=127），

【相多】=127-123=4步（BQ-AP=4）。

得：CD = AB*AA’/(BQ-AP) + AA’ = 1000*5/4 + 5 = 1250 + 5 = 1255CA = AB*AP/(BQ-AP) = 1000*123/4 = 30750

【答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。】【岛高】= 4里 + 55步 = 7200尺 + 55步 = 1200步 + 55步 = 1255步【去表】= 102里 + 150步 = 183600尺 + 150步 = 30600步 + 150步 = 30750步，结果完全吻合！

第二题

  今有望松生山上，不知高下。立两表齐，高二丈，前後相去五十步，令後表与前表参相直。从前表却行七步四尺，薄地遥望松末，与表端参合。又望松本，入表二尺八寸。复从後表却行八步五尺，薄地遥望松末，亦与表端参合。问松高及山去表各几何？

  答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。

  术曰：以入表乘表间为实。相多为法，除之。加入表，即得松高。求表去山远近者：置表间，以前表却行乘之为实。相多为法，除之，得山去表。

今人解答：

AA’和BB’是两根标杆（两表），

R是AA’上的一个刻度点，

现在的目标是测量DE的高度（松高）和CA的距离（山去表）。

已知从P点通过A’刚好望到E，通过R刚好望到D，又从Q点通过B’也刚好望到E。

则根据相似三角形属性：

CE/CP=AA’/AP

CE/CQ=BB’/BQ

CD/CP=AR/AP

∵AA’=BB’ → CP/AP = CE/AA’ = CE/BB’ = CQ/BQ

(CA+AP)/AP = (CA+AB+BQ)/BQ

CA/AP = (CA+AB)/BQ

CA*BQ = (CA+AB)*AP = CA*AP + AB*AP

CA*(BQ-AP) = AB*AP

CA = AB*AP/(BQ-AP)

DE = CE - CD = CP*AA’/AP - CP*AR/AP = (CA+AP)*(AA’-AR)/AP

DE = AB*RA’/(BQ-AP) + RA'

【术曰：以入表乘表间为实。相多为法，除之。加入表，即得松高。求表去山远近者：置表间，以前表却行乘之为实。相多为法，除之，得山去表。】

这里【入表】=RA’，【表间】=AB，【相多】=BQ-AP，【前表却行】=AP，式子完全吻合！

【今有望松生山上，不知高下。立两表齐，高二丈，前後相去五十步，令後表与前表参相直。从前表却行七步四尺，薄地遥望松末，与表端参合。又望松本，入表二尺八寸。复从後表却行八步五尺，薄地遥望松末，亦与表端参合。问松高及山去表各几何？】

这次以【尺】为基本单位：

【表高】=2丈=20尺（AA’=20），

【表间】=50步=300尺（AB=300），

【前表却行】=7步+4尺=46尺（AP=46），

【后表却行】=8步+5尺=53尺（BQ=53），

【相多】=53-46=7尺（BQ-AP=7），

【入表】=2尺+8寸=2.8尺（RA’=2.8）。

得：DE = AB*RA’/(BQ-AP) + RA’ = 300*2.8/7 + 2.8 = 122.8CA = AB*AP/(BQ-AP) = 300*46/7 = 1971+3/7

【答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。】

【松高】= 12丈 + 2尺 + 8寸 = 120尺 + 2.8尺 = 122.8尺

【山去表】= 1里 + 28步 + 4/7步 = 1800尺+ 168尺 + 24/7尺 = 1971+3/7尺结果完全吻合！

第三题：

  今有南望方邑，不知大小。立两表东、西去六丈，齐人目，以索连之。令东表与邑　东南隅及东北隅参相直。当东表之北却行五步，遥望邑西北隅，入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表一十三步二尺，遥望邑西北隅，适与西表相参合。问邑方及邑去表各几何？

  答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步。

  术曰：以入索乘後去表，以两表相去除之，所得为景长；以前去表减之，不尽以为法。置後去表，以前去表减之，余以乘入索为实。实如法而一，得邑方。求去表远近者：置後去表，以景长减之，余以乘前去表为实。实如法而一，得邑去表。

今人解答：

CDEF是一个四墙分别面向正东南西北方的正方形邑城，

A和A’分别是两根标杆，

中间用一条绳索AA’连着，

R是AA’上的一个刻度点，

现在的目标是测量CD的宽度（邑方）和CA的距离（邑去表）。

已知FCAPQ成一直线，

AA’与CD平行，

从P点通过R刚好望向D，从Q点通过A’也刚好望向D。

则根据相似三角形属性：

CD/CP = AR/AP

CD/CQ = AA’/AQ

CP*AR/AP = CD = CQ*AA’/AQ

(CA+AP)*AQ*AR = (CA+AQ)*AP*AA'

CA*AQ*AR + AP*AQ*AR = CA*AP*AA’ + AQ*AP*AA'

CA*AQ*AR - CA*AP*AA’ = AP*AQ*AA’ - AP*AQ*AR

CA*AQ*AR/AA’ - CA*AP = AP*AQ - AP*AQ*AR/AA'

CA*(AQ*AR/AA’-AP) = AP*(AQ-AQ*AR/AA')

CA = (AQ-AQ*AR/AA’)*AP / (AQ*AR/AA’-AP)

CD = CQ*AA’/AQ = (CA+AQ)*AA’/AQ = CA*AA’/AQ + AA'

CD = (AA’-AR)*AP/(AQ*AR/AA’-AP) + (AQ*AR-AP*AA’)/(AQ*AR/AA’-AP)

CD = (AQ-AP)*AR / (AQ*AR/AA’-AP)

【术曰：以入索乘後去表，以两表相去除之，所得为景长；以前去表减之，不尽以为法。置後去表，以前去表减之，余以乘入索为实。实如法而一，得邑方。求去表远近者：置後去表，以景长减之，余以乘前去表为实。实如法而一，得邑去表。】

【入索】=AR，

【後去表】=AQ，

【两表相去】=AA’，

【景长】=AQ*AR/AA’，

【前去表】=AP，

【不尽】=AQ*AR/AA’-AP，

式子完全吻合！

【今有南望方邑，不知大小。立两表东、西去六丈，齐人目，以索连之。令东表与邑东南隅及东北隅参相直。当东表之北却行五步，遥望邑西北隅，入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表一十三步二尺，遥望邑西北隅，适与西表相参合。问邑方及邑去表各几何？】

【两表相去】=AA’=6丈=60尺，

【前去表】=AP=5步=30尺，

【入索】=AR=2丈+2尺+6.5寸=22.65尺，

【後去表】=AQ=13步+2尺=80尺，

【景长】=80*22.65/60=30.2尺，

【不尽】=30.2-30=0.2尺。

得：CD = (AQ-AP)*AR / (AQ*AR/AA’-AP) = (80-30)*22.65 / 0.2 = 5662.5CA = (AQ-AQ*AR/AA’)*AP / (AQ*AR/AA’-AP) = (80-30.2)*30 / 0.2 = 7470

​【答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步。】

【邑方】= 3里 + 43步 + 3/4步 = 5400尺 + 258尺 + 18/4尺 = 5662.5尺

【邑去表】= 4里 + 45步 = 7200尺 + 270尺 = 7470尺

结果完全吻合！

第四题：

  今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺。从勺端望谷底，入下股九尺一寸。又设重矩于上，其矩间相去三丈。更从勺端望谷底，入上股八尺五寸。问谷深几何？

  答曰：四十一丈九尺。

  术曰：置矩间，以上股乘之，为实。上、下股相减，余为法，除之。所得以勾高减之，即得谷深。

今人解答：

AA’和BB’是在深谷悬崖边上竖起的两段垂直柱子（勾），

AP和BQ则为柱子底部伸出的水平杆子（股），

P、Q为杆子上面的刻度点，

CD为深谷底部的一条水平线，

现在的目标是测量CA的长度（谷深）。

已知从A’通过P点刚好望到D，

从B’通过Q点也刚好望到D。

则根据相似三角形属性：

CD/CA’ = AP/AA'

CD/CB’ = BQ/BB'

∵AA’ = BB’ → CA’*AP = CD*AA’ = CD*BB’ = CB’*BQ

(CA+AA’)*AP = (CA+AB+BB’)*BQ

CA*AP-CA*BQ = AB*BQ+BB’*BQ-AA’*AP

CA*(AP-BQ) = AB*BQ-AA’*(AP-BQ)

CA = AB*BQ/(AP-BQ)-AA'

【术曰：置矩间，以上股乘之，为实。上、下股相减，余为法，除之。所得以勾高减之，即得谷深。】

【矩间】=AB，

【上股】=BQ，

【下股】=AP，

【勾高】=AA’，

式子完全吻合！

【今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺。从勺端望谷底，入下股九尺一寸。又设重矩于上，其矩间相去三丈。更从勺端望谷底，入上股八尺五寸。问谷深几何？】

【勾高】=AA’=6尺，

【下股】=AP=9尺+1寸=9.1尺，

【矩间】=AB=3丈=30尺，

【上股】=BQ=8尺+5寸=8.5尺。

得：CA = AB*BQ/(AP-BQ)-AA’ = 30*8.5/(9.1-8.5)-6 = 419

【答曰：四十一丈九尺。】

【谷深】= 41丈+9尺 = 419尺结果完全吻合！

第五题：

  今有登山望楼，楼在平地。偃矩山上，令勾高六尺。从勾端斜望楼足，入下股一丈二尺。又设重矩於上，令其间相去三丈。更从勾端斜望楼足，入上股一丈一尺四寸。又立小表於入股之会，复从勾端斜望楼岑端，入小表八寸。问楼高几何？

  答曰：八丈。

  术曰：上、下股相减，余为法；置矩间，以下股乘之，如勾高而一。所得，以入小表乘之，为实。实如法而，即是楼高。

今人解答：

AA’和BB’是在山上竖起的两段垂直柱子（勾），

AP和BQ则为柱子底部伸出的水平杆子（股），

P、Q为杆子上面的刻度点。

另外在Q点上竖立起一根小标杆QR，

R为上面的一个刻度点。

DE为山下平地上的一座高楼，

现在的目标是测量它的高度（楼高）。

已知从A’通过P点刚好望到D，

从B’通过Q点也刚好望到D，

通过R点则刚好望到E。

则根据相似三角形属性：

CD/CA’ = AP/AA'

CD/CB’ = BQ/BB'

CD/(CB’-DE) = BQ/(BB’-QR)

∴BQ*CB’/BB’*(BB’-QR) = BQ*(CB’-DE)

CB’-DE = CB’-CB’*QR/BB'

DE = (CA+AB+BB’)*QR/BB'

从上题得：

CA = AB*BQ/(AP-BQ)-AA'

又：AA’ = BB'

∴DE = (AB*BQ/(AP-BQ)+AB)*QR/AA’DE = AB*AP/AA’*QR/(AP-BQ)

【术曰：上、下股相减，余为法；置矩间，以下股乘之，如勾高而一。所得，以入小表乘之，为实。实如法而，即是楼高。】

【上股】=BQ，

【下股】=AP，

【矩间】=AB，

【勾高】=AA’，

【入小表】=QR，

式子完全吻合！

【今有登山望楼，楼在平地。偃矩山上，令勾高六尺。从勾端斜望楼足，入下股一丈二尺。又设重矩於上，令其间相去三丈。更从勾端斜望楼足，入上股一丈一尺四寸。又立小表於入股之会，复从勾端斜望楼岑端，入小表八寸。问楼高几何？】

【勾高】=AA’=6尺，

【下股】=AP=1丈+2尺=12尺，

【矩间】=AB=3丈=30尺，

【上股】=BQ=1丈+1尺+4寸=11.4尺，

【入小表】=QR=8寸=0.8尺。

得：DE = AB*AP/AA’*QR/(AP-BQ) = 30*12/6*0.8/(12-11.4) = 80

【答曰：八丈。】

【楼高】= 8丈 = 80尺

结果完全吻合！

第六题：

  今有东南望波口，立两表南、北相去九丈，以索薄地连之。当北表之西却行去表六丈，薄地遥望波口南岸，入索北端四丈二寸。以望北岸，入前所望表里一丈二尺。又却行，後去表一十三丈五尺。薄地遥望波口南岸，与南表参合。问波口广几何？

  答曰：一里二百步。

  术曰：以後去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表减之，余以为法；复以前去表减後去表，余以乘入所望表里为实，实如法而一，得波口广。

今人解答：

CD是一个纵贯南北的波口（河口），

A和A’分别是两根标杆，

中间用一条绳索AA’连着，

R和S是AA’上的两个刻度点，

现在的目标是测量CD的宽度（波口广）。

已知AA’与CD平行，

APQ与CD垂直，

B点为APQ与CD的延长线交点，

从P点通过R刚好望向C，

通过S则刚好望向D，

从Q点通过A’也刚好望向D。

则根据相似三角形属性：

BC/BP = AR/AP

BD/BP = AS/AP

→(BC+CD)/BP = (AR+RS)/AP

→BP = CD*AP/RS

BD/BQ = AA’/AQ

→BD*AQ = (BP+PQ)*AA'

→(BP*AS/AP)*AQ = BP*AA’+PQ*AA'

→(CD*AP/RS)*(AQ*AS/AP-AA’) = (AQ-AP)*AA'

→CD*(AQ*AS-AP*AA’)/RS = (AQ-AP)*AA'

CD = (AQ-AP)*RS/(AQ*AS/AA’-AP)

【术曰：以後去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表减之，余以为法；复以前去表减後去表，余以乘入所望表里为实，实如法而一，得波口广。】

【後去表】=AQ，

【入索】=AS，

【表相去】=AA’，

【前去表】=AP，

【入所望表里】=RS，

式子完全吻合！

【今有东南望波口，立两表南、北相去九丈，以索薄地连之。当北表之西却行去表六丈，薄地遥望波口南岸，入索北端四丈二寸。以望北岸，入前所望表里一丈二尺。又却行，後去表一十三丈五尺。薄地遥望波口南岸，与南表参合。问波口广几何？】

【表相去】=AA’=9丈=90尺，

【前去表】=AP=6丈=60尺，

【入索】=AS=4丈+2寸=40.2尺，

【入所望表里】=RS=1丈+2尺=12尺，

【後去表】=AQ=13丈+5尺=135尺。

得：CD = (AQ-AP)*RS/(AQ*AS/AA’-AP) = (135-60)*12/(135*40.2/90-60) = 900/0.3 = 3000【答曰：一里二百步。】

【波口广】= 1里 + 200步 = 1800尺 + 1200尺 = 3000尺

结果完全吻合！

第七题：

  今有望清渊下有白石。偃矩岸上，令勾高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又设重矩於上，其间相去四尺。更从勾端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。问水深几何？

  答曰：一丈二尺。

  术曰：置望水上、下股相减，余以乘望石上股为上率。又以望石上、下股相减，余以乘望水上股为下率。两率相减，余以乘矩间为实；以二差相乘为法。实如法而一，得水深。

今人解答：

AA’和BB’是在岸上竖起的两段垂直柱子（勾），

AP和BR则为柱子底部伸出的水平杆子（股），

P、Q、R、S为杆子上面的刻度点，

CD为清渊水面的水平线，

EF为渊底的水平线，F点有颗白石。

现在的目标是测量CE的长度（水深）。

已知从A’通过P点刚好望到D，

通过Q点刚好望到F，

从B’通过R点刚好望到D，

通过S点刚好望到F。

则根据相似三角形属性：

CD/CA’ = AP/AA'

EF/EA’ = AQ/AA'

CD/CB’ = BR/BB'

EF/EB’ = BS/BB'

∵AA’ = BB’ → CA’*AP = CD*AA’ = CD*BB’ = CB’*BR

(CA+AA’)*AP = (CA+AB+BB’)*BR

CA*AP-CA*BR = AB*BR+AA’*BR-AA’*AP

CA*(AP-BR) = AB*BR-AA’*(AP-BR)

CA = AB*BR/(AP-BR)-AA'

∵AA’ = BB’ → EA’*AQ = EF*AA’ = EF*BB’ = EB’*BS

(EA+AA’)*AQ = (EA+AB+BB’)*BS

EA*AQ-EA*BS = AB*BS+AA’*BS-AA’*AQ

EA*(AQ-BS) = AB*BS-AA’*(AQ-BS)

EA = AB*BS/(AQ-BS)-AA'

∴CE = EA-CA = AB*BS/(AQ-BS)-AB*BR/(AP-BR)

CE = ((AP-BR)*BS-(AQ-BS)*BR)*AB/(AP-BR)/(AQ-BS)

【术曰：置望水上、下股相减，余以乘望石上股为上率。又以望石上、下股相减，余以乘望水上股为下率。两率相减，余以乘矩间为实；以二差相乘为法。实如法而一，得水深。】

【望水上股】=BR，

【望水下股】=AP，

【望石上股】=BS，

【望石下股】=AQ，

【矩间】=AB，

式子完全吻合！

【今有望清渊下有白石。偃矩岸上，令勾高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又设重矩於上，其间相去四尺。更从勾端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。问水深几何？】

【勾高】=AA’=3尺，

【望水下股】=AP=4尺+5寸=4.5尺，

【望石下股】=AQ=2尺+4寸=2.4尺，

【矩间】=AB=4尺，

【望水上股】=BR=4尺，

【望石上股】=BS=2尺+2寸=2.2尺。

得：CE = ((AP-BR)*BS-(AQ-BS)*BR)*AB/(AP-BR)/(AQ-BS) = ((4.5-4)*2.2-(2.4-2.2)*4)*4/(4.5-4)/(2.4-2.2) = (1.1-0.8)*4/0.5/0.2 = 1.2*2*5 = 12

【答曰：一丈二尺。】

【水深】= 1丈 + 2尺 = 12尺结果完全吻合！

第八题：

  今有登山望津，津在山南。偃矩山上，令勾高一丈二尺。从勾端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股里一丈八寸。更登高岩，北却行二十二步，上登五十一步，偃矩山上。更从勾端斜望津南岸，入上股二丈二尺。问津广几何？

  答曰：二里一百二步。

  术曰：以勾高乘下股，如上股而一。所得以勾高减之，余为法；置北行，以勾高乘之，如上股而一。所得以减上登，余以乘入股里为实。实如法而一，即得津广。

今人解答：

AA’和BB’是在山上两处竖起的垂直柱子（勾），

AP和BR则为柱子底部伸出的水平杆子（股），

P、Q、R为杆子上面的刻度点，

EF为山下的一个津（渡口）。

现在的目标是测量EF的宽度（津广）。

已知从A’通过P点刚好望到F，

通过Q点刚好望到E，

从B’通过R点刚好望到F。

则根据相似三角形属性：

DF/DA’ = AP/AA'

DE/DA’ = AQ/AA'

→EF = DF-DE = DA’*(AP-AQ)/AA’ = DA’*PQ/AA'

CF/CB’ = BR/BB'

→(CD+DF)*BB’ = (CG+GB+BB’)*BR

→(GA+DA’*AP/AA’)*AA’ = (DA+GB+AA’)*BR

→GA*AA’+DA’*AP = DA’*BR+GB*BR

→DA’*(AP-BR) = GB*BR-GA*AA'

→EF*(AP-BR) = (GB*BR-GA*AA’)*PQ/AA'

EF = (GB-GA*AA’/BR)*PQ/(AP*AA’/BR-AA')

【术曰：以勾高乘下股，如上股而一。所得以勾高减之，余为法；置北行，以勾高乘之，如上股而一。所得以减上登，余以乘入股里为实。实如法而一，即得津广。】

【勾高】=AA’，

【下股】=AP，

【上股】=BR，

【北行】=GA，

【上登】=GB，

【入股里】=PQ，

式子完全吻合！

【今有登山望津，津在山南。偃矩山上，令勾高一丈二尺。从勾端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股里一丈八寸。更登高岩，北却行二十二步，上登五十一步，偃矩山上。更从勾端斜望津南岸，入上股二丈二尺。问津广几何？】

【勾高】=AA’=1丈+2尺=12尺，

【下股】=AP=2丈+3尺+1寸=23.1尺，

【入股里】=PQ=1丈+8寸=10.8尺，

【北行】=GA=22步=132尺，

【上登】=GB=51步=306尺，

【上股】=BR=2丈+2尺=22尺。

得：EF = (GB-GA*AA’/BR)*PQ/(AP*AA’/BR-AA’) = (306-132*12/22)*10.8/(23.1*12/22-12) = 234*10.8/0.6 = 4212【答曰：二里一百二步。】

【津广】= 2里 + 102步 = 3600尺 + 612尺 = 4212尺

结果完全吻合！

第九题：

  今有登山临邑，邑在山南。偃矩山上，令勾高三尺五寸。令勾端与邑东南隅及东北隅参相直。从勾端遥望东北隅，入下股一丈二尺。又施横勾於入股之会，从立勾端望西北隅，入横勾五尺。望东南隅，入下股一丈八尺。又设重矩於上，令矩间相去四丈。更从立勾端望东南隅，入上股一丈七尺五寸。问邑广长各几何？

  答曰：南北长一里百步；东西广一里三十三步、少半步。

  术曰：以勾高乘东南隅入下股，如上股而一，所得减勾高，余为法；以东北隅下股减东南隅下股，余以乘矩间为实。实如法而一，得邑南北长也。求邑广：以入横勾乘矩间为实。实如法而一，即得邑东西广。

今人解答：

DEFG是一个在地平面上，

四墙分别面向正东南西北方的矩形邑城，

AA’和BB’是在山上竖起的两段垂直柱子（勾），

AR和BS则为柱子底部伸出的水平杆子（股），

PQ则为从P点向横伸出跟AR成直角的水平杆子（横勾），

P、Q、R、S都是杆子上面的刻度点。

现在的目标是测量DG的长度（南北长）和DE的宽度（东西广）。

已知从A’通过P点刚好望到D，

通过Q点刚好望到E，

通过R点刚好望到G，

从B’通过S点也刚好望到G。

则根据相似三角形属性：

CD/CA’ = AP/AA'

CG/CA’ = AR/AA'

→CG*AA’ = CA’*AR

CG/CB’ = BS/BB'

→(CA+AB+BB’)*BS = CG*BB'

∴(CA+AB+AA’)*BS = CA’*AR

CA’*(AR-BS) = AB*BS

CA’/AA’ = AB/(AA’*AR/BS-AA')

∴DG = CG-CD = (AR-AP)*CA’/AA'

DG = (AR-AP)*AB/(AA’*AR/BS-AA')

又根据相似三角形属性：

DA’/CA’ = PA’/AA'

DE/DA’ = PQ/PA'

∴DE = PQ*DA’/PA’ = PQ*CA’/AA’DE = PQ*AB/(AA’*AR/BS-AA')

【术曰：以勾高乘东南隅入下股，如上股而一，所得减勾高，余为法；以东北隅下股减东南隅下股，余以乘矩间为实。实如法而一，得邑南北长也。求邑广：以入横勾乘矩间为实。实如法而一，即得邑东西广。】

【勾高】=AA’，

【东南隅下股】=AR，

【上股】=BS，

【东北隅下股】=AP，

【矩间】=AB，

【入横勾】=PQ，

式子完全吻合！

【今有登山临邑，邑在山南。偃矩山上，令勾高三尺五寸。令勾端与邑东南隅及东北隅参相直。从勾端遥望东北隅，入下股一丈二尺。又施横勾於入股之会，从立勾端望西北隅，入横勾五尺。望东南隅，入下股一丈八尺。又设重矩於上，令矩间相去四丈。更从立勾端望东南隅，入上股一丈七尺五寸。问邑广长各几何？】

【勾高】=AA’=3尺+5寸=3.5尺，

【东北隅下股】=AP=1丈+2尺=12尺，

【入横勾】=PQ=5尺，

【东南隅下股】=AR=1丈+8尺=18尺，

【矩间】=AB=4丈=40尺，

【上股】=BS=1丈+7尺+5寸=17.5尺。

得：DG = (AR-AP)*AB/(AA’*AR/BS-AA’) = (18-12)*40/(3.5*18/17.5-3.5) = 240/0.1 = 2400DE = PQ*AB/(AA’*AR/BS-AA’) = 5*40/(3.5*18/17.5-3.5) = 200/0.1 = 2000

【答曰：南北长一里百步；东西广一里三十三步、少半步。】

【南北长】= 1里 + 100步 = 1800尺 + 600尺 = 2400尺

【东西广】= 1里 + 33步 + 1/3步 = 1800尺 + 198尺 + 2尺 = 2000尺

结果完全吻合！

参考资料：

《海岛算经》讨论组，百度贴吧，网友毒酒滴冻鸭；