伤痕累累的飞机_风闻

在第二次世界大战的大部分时间里，数学家瓦尔德都在哥伦比亚大学的统计研究小组（SRG）中工作。

在这个小组中，米尔顿·弗里德曼（Milton Friedman）这位后来的诺贝尔经济学奖得主只能算第四聪明的人。

小组中天赋最高的当属亚伯拉罕·瓦尔德。

美军飞机在欧洲上空与敌机交火后返回基地时，飞机上会留有弹孔。但是，这些弹孔分布得并不均匀，机身上的弹孔比引擎上的多。

军方不希望自己的飞机被敌人的战斗机击落，因此要为飞机披上装甲。但是，装甲会增加飞机的重量，这样，飞机的机动性就会减弱，还会消耗更多的燃油。防御过度并不可取，但是防御不足又会带来问题。在这两个极端之间，有一个最优方案。军方把一群数学家聚拢在纽约市的一个公寓中，就是想找出这个最优方案。

军官们认为，如果把装甲集中装在飞机最需要防护、受攻击概率最高的部位，那么即使减少装甲总量，对飞机的防护作用也不会减弱。因此，他们认为这样的做法可以提高防御效率。但是，这些部位到底需要增加多少装甲呢？

他们找到瓦尔德，希望得到这个问题的答案。

但是，瓦尔德给出的回答并不是他们预期的答案。

瓦尔德说，需要加装装甲的地方不应该是留有弹孔的部位，而应该是没有弹孔的地方，也就是飞机的引擎。

瓦尔德的独到见解可以概括为一个问题：飞机各部位受到损坏的概率应该是均等的，但是引擎罩上的弹孔却比其余部位少，那些失踪的弹孔在哪儿呢？

瓦尔德深信，这些弹孔应该都在那些未能返航的飞机上。胜利返航的飞机引擎上的弹孔比较少，其原因是引擎被击中的飞机未能返航。大量飞机在机身被打得千疮百孔的情况下仍能返回基地，这个事实充分说明机身可以经受住打击（因此无须加装装甲）。

如果去医院的病房看看，就会发现腿部受创的病人比胸部中弹的病人多，其原因不在于胸部中弹的人少，而是胸部中弹后难以存活。

美军将瓦尔德的建议迅速付诸实施，我们无法准确地说出这条建议到底挽救了多少架美军战机，但是数据统计小组在军方的继任者们精于数据统计，一定很清楚这方面的情况。

美国国防部一直认为，打赢战争不能仅靠更勇敢、更自由和受到上帝更多的青睐。如果被击落的飞机比对方少5%，消耗的油料低5%，步兵的给养多5%，而所付出的成本仅为对方的95%，往往就会成为胜利方。这个理念不是战争题材的电影要表现的主题，而是战争的真实写照，其中的每一个环节都要用到数学知识。

瓦尔德对空战的理解都远不及美军军官，但他却能看到军官们无法看到的问题，这是为什么呢？

根本原因是瓦尔德在数学研究过程中养成的思维习惯。从事数学研究的人经常会询问：“你的假设是什么？这些假设合理吗？”

这样的问题令人厌烦，但有时却富有成效。

在这个例子中，军官们在不经意间做出了一个假设：返航飞机是所有飞机的随机样本。

如果这个假设真的成立，我们仅依据幸存飞机上的弹孔分布情况就可以得出结论。

但是，一旦认识到自己做出了这样的假设，我们立刻就会知道这个假设根本不成立，因为我们没有理由认为，无论飞机的哪个部位被击中，幸存的可能性是一样的。

用数学语言来说，飞机幸存的概率与弹孔的位置具有相关性。

对于数学家而言，导致弹孔问题的是一种叫作“幸存者偏差”（survivorship bias）的现象。这种现象几乎在所有的环境条件下都存在，一旦我们像瓦尔德那样熟悉它，在我们的眼中它就无所遁形。

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好了，现在回过头来说说学霸的问题：

其实，学霸也分层次，学霸的差距大于学霸与学渣的差距。只是一般人没有足够的机会与学霸打交道，也就缺乏深入了解学霸的可能。

我出身于学霸家庭，学习与工作中遇到很多学霸，自然有更多的机会了解学霸了。

学霸的最低标准是中小学班级排名稳定前三名，这也是帝都六大中学提前点招的前提。

儿子的小学同学的奶奶是小学老师，因为以前忙于工作没有把儿子培养好，于是退休后下功夫培养孙女。在奶奶的大力培养下，孙女在五年级就被人大附中提前点招走了。

这种学霸是培养出来的。

当然，山外有山，人外有人。

一个人是班级排名稳定前三并不容易，想成为年纪前三更不容易，成为某区某县某市排名前三更难。

我妈的学霸属于刻苦型，因为家里穷，只有学习才能改变命运，所以中小学上学特殊认真，门门考试都是第一，而且做题特别快，老师根据她做题的速度地判断考题的难易程度。后来保送北大。到了北大才知道那是一个天下英才汇聚的地方。有一次理论物理出题特别难，班上一半人不及格。原来基于死记硬背的学习模式就开始不适应了，好在没有挂科，能顺利毕业。考试能行，但业务能力差点。

我爸是来自农村，家里排行第九，是最小的孩子，中小学也没有怎么抓学习，反正成绩属于前三的，大学上了清华。学的是无线电，在技术能力上有两把刷子，但是有能力天花板。

我妹开始学习一般，后来高中时克服畏难情绪后，成绩得到提高，高考成绩580多分，清华考虑到我爸是校友就录取了。等我妹到了大学才知道自己在班是垫底的。她宿舍有一个学霸经常翘课去新东方考T考G。大学毕业后直接出国了，到美国只用两年就拿到博士学位了。

LP高考成绩是县前三名，也算是学霸吧。

当然单位里也有许多学霸，有的学霸的儿子也很厉害，原来那个同事的儿子喜欢玩游戏，后来同事说只要你考上大学，游戏随你玩，于是儿子在高二时就被中国科技大学提前录取了。

学霸是那些优秀的战机，大多数人只会看到低空飞行的战机，充满羡慕的神情，而学霸会在高空发现更多更强的战机。

清华的张朝阳在回忆大学生活时说，一流的大学是一个绞肉机，把全国的精英放在里面绞，优秀者当然能胜出，但是失败者必然伤痕累累……

这些失败者能不能飞得更远，取决于他们能不能从失败中走出来，否则就是落地的凤凰不如鸡。