丘成桐：数学为基础科学之基础（修订版）_风闻

斯文至乐 今天

编者荐语：

丘成桐先生既是享誉全球的数学领袖，也是数学教育的当代宗师。他半个世纪来为世界培养了无数杰出数学家，为中国发展，尤其是科学进步呕心沥血无私奉献。他在清华创办的求真书院，集世界数理大师，育中华英才，拟以十年之功，使数学奠定中国现代化发展之基。

以下文章来源于数理人文 ，作者丘成桐

数理人文夫筹学之道，求根创新。学之大者，受诸天地，推理寻真，必若古之辞赋大家，赋比并用，若虚若实，外则参乎物象数理之阴阳表里，内则究物我天赋流通之大气！有规有矩，无界无疆。此理学人文之根基也。学之上流，辞兼理文，雅洁瑰丽，直可以动天地而感鬼神。

我每天在跑步机上跑步，总会打开电视，看看新闻，最受鼓舞而又感动的是：中国精准扶贫的成功，改变了中国两千年来

“兴，百姓苦。亡，百姓苦”

的贫苦家庭的困境。

但是我们仔细观察一下，扶贫工作最重要的几件事情就是

水、电、交通；

有了这些基本设施，才有机会脱贫。

其实人类文明的进程跟这些都有密切关系。以下略为讨论：

（1）水： 水是地球上生命之源。没有足够的水，谈不上什么文化！为了得到水，老百姓会拼命。

红旗渠（照片来源：新华社）

我到安阳见到红旗渠的时候，我吓了一跳，一千五百公里的大渠，依山傍悬崖而筑。十万农民，用粗糙的工具盖成。中国人民真伟大，真值得我们钦佩！当时工具不足，但到了今天，看看云贵高原的铁道大桥隧道的构造，比五十多年前做红旗渠的工程大得多了，都能够成功，这都拜高科技之赐。

位于云南与贵州交界的北盘江第一桥（照片来源：宣威市政府网）

中国从大禹治水以来，黄河、长江这两条母亲河，孕育着我们的民族，但是载舟之水也能覆舟。

我们对于水性，始终未全部了解，河水冲积，可以沃野千里，国富民强。但是河水泛滥，也可以做成哀鸿遍野的状况。何以故？我们对于水和一般流体的性质，始终未能充分了解也！

古希腊的阿基米德就开始研究比较简单的水的性质，虽然已经很有用场，但是所得到的知识有限。

阿基米德、伯努利兄弟、欧拉、拉格朗日

历史上第一次突破，是伯努利兄弟、欧拉和拉格朗日的工作出现以后，他们利用微积分写下了流体力学的重要方程。他们的结果因此解释了一大片有关流体的自然现象，甚至可以应用到星云的问题上。清华大学毕业的林家翘，就是因为用方程解释为何某些星云会成为螺旋状而名满天下。

林家翘（1916--2013）

对于理想不可压缩流体

（欧拉）运动方程

定常流动、重力是唯一的质量力、沿着流线

伯努利方程 

总流伯努利方程

可是直到如今，有很多重要的流体力学的问题，还是没有解决；湍流就是这些问题中最突出的。这些都是深奥数学能够帮忙的科学。

（2）电： 大家都知道雷电，古人已经知道电的能力可以很强。但是直到十七世纪和十八世纪初期，人类才开始从不同的现象中科学地观察到电和磁的各种现象。

富兰克林（Benjamin Franklin，1706--1790）

在十八世纪时，富兰克林用雷电进行了各种电学实验，证明了天上的雷电与人工摩擦产生的电具有完全相同的性质。这样就开始了对电的研究。

在 1820 年时，奥斯特发现磁和电相互影响。之后，一大批学者开始研究电磁的定律，包括高斯、黎曼、法拉第和麦克斯韦在内，最后的方程组由麦克斯韦完成。

高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777--1855）黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826--1866）法拉第（Michael Faraday，1791--1867）麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831--1879）

赫兹则完成它的验证。电磁理论是牛顿以后，物理学进入新纪元的学问，它很快被用来做很多日用的工具，包括电灯在内。但是它的应用和影响远远超过电灯！

麦克斯韦方程组堪称为二十世纪物理学的根源，而人类文明也进入了新纪元。

麦克斯韦方程组

电磁学通过麦克斯韦方程组，大量地利用数学；反过来说，它也对数学，尤其是几何学，有着深远的影响。

（3）交通： 这里有古代和近代的交通意义。古代的陆路、水路，空中的交通工具都需要大量工具；日新月异，科技愈来愈发达，用的现代数学也是愈来愈丰富。

但是自从电脑发达，互联网被大量利用已经到达全国各地。无论远近，在扶贫的乡村里，也见到老百姓用互联网帮助自己的产业！

这么大一个网络，如何处理，是一个极端困难的事情。近三十年来，大量的数学成果投入到这个产业中，也因此而产生了大量的财富。

举个例来说，网络上搞交易，很明显需要大量的保密系统，而整个保密系统用的都是深奥的数学：数论中很多看来没有用的定理大部分都派上用场，从因子分解、椭圆曲线，到抽象代数都在保密系统中出现踪迹。

当然计算机硬件的进步绝对是惊人的，但是所有这些二十世纪高科技的产生，都和量子力学有着密切的关系。

量子计算机（照片来源：S. Shankland/CNET）

二十世纪初期的物理学家和数学家为了了解物质最基本的结构和它们的数学原理，创造了这些伟大的科技发展，这是当年创立这些学科的学者也预料不到的！而基础数学始终是这些学问的基础。

为什么许多中国百姓和官员不知道数学的重要？大概是中国传统的“学以致用”而不计较数学本身的重要性所造成的！要用数学，必须要了解数学本身的结构，才能够发挥数学的精华！

现代数学体系图（图片来自网络）

我们看到应用科技的好处，就想赶快学好，觉得可以大赚一笔；就如改革开放之初，到国外去买大型机器，将工业做好了，也赚了大钱。反过来，去和卖出机器的外国产业竞争，有时候可以成功，但是当我们不懂得机器运作的原理时，难以取得决定性胜利。

我将这个状况和两千两百年前汉高祖刘邦的臣下陆贾和他讨论的一件事相比较：

马上得天下，却不能马上治之。

高帝骂之曰：“乃公居马上而得之，安事诗书！”陆生曰：“居马上得之，宁可以马上治之乎？且汤武逆取而以顺守之，文武并用，长久之术也，向使秦已并天下，行仁义，法先圣，陛下安得而有之？”

——《史记·郦生陆贾列传》

我们的工业可以通过学习别人而速成，甚至胜过我们学习的人，但是继续去抄袭，就无以为继,很难获得持续性增长。

中国古代有不少次是胡人攻入中原后，发现他们文化不足以管理中华大地，于是迅速汉化了。

我们发现异族入主中原，和他们汉化深度有关。前秦苻坚用汉人王猛，统一了中国北方；在汉化未深以前，发动淝水之战，结果灭亡了。

淝水之战（383 年）

北魏孝文帝拓跋宏迁都洛阳，以求深度汉化；臣子不服，结果也不成功。

北魏孝文帝（467--499）、北魏孝文帝迁都（494 年）

汉化最成功的清朝，康熙、雍正和乾隆，都精通汉文，国祚也最长。

康熙（1654--1722）、雍正（1678--1735）、乾隆（1711--1799）

其实人类文化发展所走过的道路，从石器时代到青铜器时代，从青铜器时代到铁器时代。每一个跳跃，都是经过千年以上的磨练而累计下来的经验才能够达到的。中间不乏各个时代的智者，传说中的伏羲作八卦、周文王演《易》以通阴阳、大禹治水、周人祖先后稷则治农。这些智者都是通过观察大自然得到结论后，再应用到人类社会。

这样的过程，在现代社会中也不断出现。我们可以从国外学习到一定的知识后，用这些知识来强国，但是基础不深，往往无法领先世界。所以我们在开始发展工业时，可以大幅引入他人的技术，但是同时也必须深入了解这些技术成功的基本原则，这样才能够长治久安。基础科学就是了解技术成功的基础，也帮助我们产生新的技术。

基础数学则是基础科学的基础！

现在我们来了解一下基础数学发展的一些例子。

西方科技的大发展，在文艺复兴以后。伽利略是其中最重要的初始领导；牛顿集其大成，发现微积分。自此以后，西方大量发展科学和技术，产生了工业革命。而这个年代正好发生在清代康熙、雍正、乾隆的三朝盛世时期。

伽利略（Galileo Galilei，1564--1642）、牛顿（Isaac Newton，1643--1727）

康熙喜爱科技和数学，但是实际上他没有看到基本科学的精髓。他喜欢几何，也看过欧几里得的《几何原本》。

康熙学习过的《几何原本》（照片来自网络）

清宫里面的《几何原本》，只叙述定理而不带证明。《几何原本》在明末时由耶稣会传教士利玛窦和徐光启开始翻译了前面六章，要到十九世纪才由李善兰全面翻译成功。

徐光启-利玛窦版本、李善兰版本（照片来自网络）

《几何原本》是科学的基础，当年牛顿写《自然哲学的数学原理》，就是用《几何原本》的方法写的。二十世纪到现在，理论物理学家很看重的爱因斯坦提出的统一场论，也是受到《几何原本》的想法影响。

中国直到十九世纪才能够看到这本书的全貌，这表明中国的基础科学发展是很缓慢的。

其实传教士到中国的目标是传教，他们自己的科学知识并不深入，没有兴趣也没有能力去详细解释当时欧洲伟大的科学知识。传教士引入的是西方社会获得的技术，中国的执政者和学者顶多欣赏到这些技术的用处，而没有去了解产生这些技术的科学基础。他们见到火车这些庞然大物自己会走动，竟然产生恐惧的感觉。

乾隆皇帝自以为十全武功，自大自傲，而不愿派人到欧洲去寻求科学的根源。这个态度一直保持到清末，所谓“中学为体，西学为用”，这个“用”的意思就是西学只是应用而已耳！

中国真正开始愿意了解基础科学，要到十九世纪末到二十世纪初期大量派遣留学生到欧美才开始。

晚清首批 30 名留美幼童名单

中国在甲午战败后，派了一大批学者到日本留学，到 1905 年时，达到八千人之多。

微积分被引入中国，其实要早于日本。但是自 1867 年明治维新开始后，日本大量派遣学者留学英国和德国，除了技术外，也学习数学。东京大学和京都大学的第一任校长都是数学家。

但是十九世纪的日本数学与欧洲相差太远。中国人在十九世纪末，舍弃了到世界科学中心的德国去学习，而大量派出学者去尚属二流的日本去学科学，实在是失策！当时中国政府如何做的决策，值得研究。

日本的基础科学在二十世纪早期迅速崛起，创造了日本二十世纪的科技成就。

菊池大麓（Kikuchi Dairoku，1855--1917）藤泽利喜太郎（Fujisawa Rikitaro，1861--1933）高木贞治（Teiji Takagi，1875--1960）

就日本数学来说，最重要的人物是高木贞治。他 1894 年进入东京大学读书，受教于当时日本主要的数学学者菊池和藤泽，后者教育他读代数，包括伽罗华理论和阿贝尔方程。

高木贞治在 1898 年先去柏林大学听弗罗贝尼乌斯、施瓦茨、福克斯的课，虽然他对于这些课的内容已经在日本时学习过，但是他们三位都是一代大师，对于他还是有很大的影响。

弗罗贝尼乌斯（Ferdinand Georg Frobenius，1849--1917）施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz，1843--1921）福克斯（Immanuel Lazarus Fuchs，1833--1902）

然后高木贞治到哥廷根，跟随当时最伟大的数学家希尔伯特，学习数论中的类域论。他在 1901 年回到日本作助理教授，在 1903 年拿到博士学位，解决了克罗内克关于类域论的一个猜想。

希尔伯特（David Hilbert，1862--1943)克罗内克（Leopold Kronecker，1823--1891）

他一面做研究，一面写书，包括中学的教科书，八年内写了十三部著作。

高木贞治的研究主要在第一次世界大战期间（1914--1918），当时信息不通，反而提供了他开始作独立研究的机会。1920 年时，他在斯特拉斯堡举行的国际数学家大会上，报告了最近完成的在类域论方面的工作（Sur quelques théoremes généraux de la théorie des nombres algébriques（关于代数数论的一些一般定理）），反响很大。西格尔推荐阿廷阅读这篇论文，从而开始了现代数论的建立。

西格尔（Carl Ludwig Siegel，1896--1981）阿廷（Emil Artin，1898--1962）

这件事情对日本数学影响很大，毕竟日本人在本土上开始能够做到在数学上举足轻重的文章了。日本民族在基础数学有了信心后，无论基础数学和应用数学，都得到长足的进步。

伊藤清在 1938 年的博士论文中创造了伊藤微积分，实质上开始了随机方程的研究，影响巨大！现代工业界，尤其是信息科学，都依靠着随机方程的发展。

伊藤清（Itô Kiyoshi，1915--2008）

在四十年代和五十年代时的重要日本数学大师，风起云涌，不可胜数。其中出色的有冈洁、小平邦彦、广中平佑、岩泽健吉、志村五郎、佐藤幹夫等大师。他们不单单改变了日本的数学，也改变了全世界的数学。

冈洁（Oka Kiyoshi，1901--1978）小平邦彦（Kodaria Kunihiko，1915--1997）广中平佑（Hironaka Heisuke, 1931--）岩泽健吉（Iwasawa Kenkichi, 1917--1998）志村五郎（Shimura Goro，1930--2019）佐藤幹夫（Sato Mikio，1928--}

西方文艺复兴开始时，和绘画一样，基础数学就被看成是西方文化的一部分，大家以懂得数学为光荣。

费马是一个法国商人，但是醉心于数学的研究。他沉迷于数论，也对用数学来解释物理现象，有着浓厚的兴趣。

笛卡尔引入解析几何，从哲学的观点来研究数学。他们的工作影响了微积分的发展。

费马（Pierre de Fermat，1601--1665）笛卡尔（René Descartes，1596--1650）

从那时开始，法国从政府到老百姓对于数学，都认为是崇高而有意义的事情。拿破仑身边常常有数学家跟着，他远征埃及时，傅里叶就随侍在侧。

拿破仑（Bonaparte Napol’eon，1769--1821）傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768--1830）

大概和他们的文化有关，法国数学家对于数学的不同分支，甚至物理学，都有很广泛的兴趣。帕斯卡、拉普拉斯、拉格朗日，都是学富五车有深入贡献的学者。

拿破仑：“数学的发展与国家的繁荣密切相关。”1797 年 12 月，经过两轮投票后，拿破仑以大多数票胜出，当选为法兰西科学院数学部院士。

帕斯卡（Blaise Pascal，1623--1662）拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749--1827）拉格朗日（Joseph Lagrange，1736--1813）

与数百年前法国人和法国政府对数学家无比尊重形成对比，直到现在，我们的地方官员见到数学家时的反应却是：

“中央政府号召我们支持基础科学，我们当然义无反顾，但是你们究竟什么时候才可以产生上市公司，有多少个？”

这样的问题，我在深圳、上海、海南、南通、杭州都曾遇到过。

英国产生了牛顿、法拉第、麦克斯韦、狄拉克、哈密尔顿等伟大的物理学家和数学家。

牛顿（Isaac Newton，1643--1727）法拉第（Michael Faraday，1791--1867）哈密尔顿（William Rowan Hamilton，1805--1865）麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831--1879）狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902--1984）

德国则产生了高斯、黎曼、普朗克、希尔伯特、爱因斯坦、外尔、海森堡、泡利等奠定现代数学和物理学的科学家。

高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777--1855）黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826--1866）普朗克（Max Karl Ernst Ludwig Planck，1858--1947）希尔伯特（David Hilbert，1862--1943）爱因斯坦（Albert Einstein，1879--1955）外尔（Hermann Klaus Hugo Weyl，1885--1955）海森堡（Werner Karl Heisenberg，1901--1976）泡利（Wolfgang Ernst Pauli，1900--1958）

俄罗斯皇后叶卡捷琳娜大帝在十八世纪时聘请了欧拉到圣彼得堡，开始了俄罗斯优良的数学传统。

叶卡捷琳娜大帝（Catherine the Great，1729--1796）欧拉（Leonhard Euler，1707--1783）

由于欧拉出身于瑞士，又在德国待了相当长时间，俄罗斯和瑞士及法德始终有较频繁的来往。

到了二十世纪初期，伟大的柯尔莫哥洛夫开始了近代概率论的研究。他精研数学中各门学科，包括动力系统、流体力学、湍流、傅里叶级数等，与朗道分别领导了俄罗斯二十世纪数学和物理学的先河。

柯尔莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903--1987）朗道（Lev Davidovich Landau，1908--1968）

柯尔莫哥洛夫特别注重中学生的数学训练，这个传统一直保持到今天，培养了一大批博大精深的学者。听说解放初期的院系调整是学习俄罗斯，但遗憾的是没有见到俄罗斯学者做学问的精髓。

现在来看看近百年来独霸全球数学的霸主——美国。美国的很多大学都有悠久的历史，例如哈佛大学、耶鲁大学都有几百年的历史。但是在 1875 年之前，都不是研究型大学。在 1875 年，约翰霍普金斯大学聘请了英国数学家西尔维斯特做校长。之后，美国多所高等大学开始转型为研究型大学。

西尔维斯特（James Joseph Sylvester，1814--1897）

开始时，正如我国改革开放那段时间，美国大学派大量留学生到欧洲；大部分学生后来回到了美国高校，引发了这些高校的改变。

但是真正使得美国数学产生革命性的改变，是哈佛大学年青的教授伯克霍夫。他在没有离开美国本土的情形下，于 1913 年（Proof of Poincaré’s geometric theorem）解决了出名的限制三体问题——这是一个重要的问题，庞加莱在去世前还对这个问题念念不忘。

伯克霍夫（George David Birkhoff，1884--1944）庞加莱（Jules Henri Poincaré，1854--1912）

这个问题的解决不单使伯克霍夫一举成名，也赋予美国数学工作者无限的信心，从此势如破竹，取代德法，成为数学盟主。

欧美的文化与中国距离比较远，但是日本的文化在十九世纪以前深受中国的影响。日本能够在明治维新后很迅速地建立起基础数学，到了上世纪竟然出人头地，使人钦佩。

我想有几个原因：

明治天皇志气远大，力争上游，花了国库一大笔钱去聘请人才，也派学者去全球科学的中心。

学者受到尊重和重用，为了强国，上下一心。

政府和学者都注重教育，培养幼童。高木贞治乃数学大师，居然写了十多本教科书。在中国，百年以来，未见这样热心教育的大学者。

至少在数学这个领域，日本严守“质”的重要性。当今日本学士院，有四位数学家（广中平佑、森重文、柏原正树、深谷贤治），都是名动四方的学者，其中前两位是菲尔兹奖得主。

无论是日本，无论是俄罗斯、欧美，他们的数学大师都会花费很多时间，特定的去培养特别杰出的中学生和大学生。

盖尔范德（Izrail Moiseevich Gelfand，1913--2009）希策布鲁赫（Friedrich Ernst Peter Hirzebruch，1927--2012）

我在哈佛大学的两位同事就是俄罗斯的大学者盖尔范德培养的，另外一位则是德国的大学者希策布鲁赫培养的。

文艺复兴以后，伟大的数学家至少有几百个，大部分都是欧洲、俄罗斯和美国出身，但是也有不少是二十世纪初期涌现出来的日本数学大师。

大家都同意历史上最伟大的几个数学家是牛顿、欧拉、高斯和黎曼。其中黎曼生命最短，但也是最有创意的数学家。事实上，爱因斯坦在 1933 年一篇演讲词中就指出他的广义相对论最重要的部分是黎曼解决的。

我在下面解释，黎曼称为伟大数学家的背景。

黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826--1866）黎曼简介

德国数学家黎曼一生才四十岁，但是他二十年不到的研究生涯中得到的成果对数学的影响力，几乎可以说是前无古人，后无来者！他的工作开创了一百五十年来的几何学、复变函数、黎曼曲面、拓扑学、解析数论、椭圆函数、代数曲线、激波理论，也为电磁学和广义相对论做了极为重要的奠基工作。

位于意大利的黎曼墓碑主要贡献

黎曼一直到去世，都是个虔诚的基督徒。他的父亲是路德会的牧师。在 1846 年时，他到哥廷根大学读神学，但是在听完高斯和斯特恩的课后，他决定改读数学。

斯特恩（Moritz Abraham Stern，1807--1894）

在 1847 年的春天，他搬到柏林大学去专修数学，这里有斯坦纳、雅可比、艾森斯坦和狄利克雷。在这些名师的教导下，他得到很深厚的数学和物理学的训练。

斯坦纳（Jakob Steiner，1796--1863）雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi，1804--1851）艾森斯坦（Gotthold Eisenstein，1823--1852）狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805--1859）

举例来说，1847 到 1848 年的冬天，雅可比在柏林教导分析力学，黎曼在他班上学习。雅可比对于力学有独特的看法“从纯数学的观点来看，这些定律是无法证明的：它们仅仅是惯例，却被假定为与自然相对应 --- 它们不是先验证明的，但它们对应的性质必须通过实验来证明。”

受到这个说法的影响，黎曼就把他在 1854 年伟大就职的演讲（Habitation Lecture）命名为《论作为几何学基础的假设》（Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen）。黎以后解力学和物理学原理时，就提到“牛顿对运动定律或作用力定律和假设的区别，在我看来是站不住脚的。惯性定律是假设…”。

当时在柏林大学的艾森斯坦是数论大师，影响了黎曼在数论方面的研究，黎曼开始研究在椭圆函数领域中如何运用复变函数的方法。在柏林大学这段时间，他完成了复变函数的基础理论。

他也深受狄利克雷的影响。狄利克雷师从法国的傅里叶和泊松，他在 1855 年继承高斯在哥廷根大学的位置。

克莱因说：“由于一种相似的思维方式，黎曼内心强烈的志同道合使他与狄利克雷结下了不解之缘。狄利克雷喜欢用直觉的方式把事情说清楚；除此之外，他还会对基本问题进行尖锐的、符合逻辑的分析，并尽可能避免冗长的计算。他的方式适合黎曼，黎曼就采纳了这一点并按照狄利克雷的方法工作。”

泊松（Siméon Denis Poisson，1781--1840）克莱因（Felix Christian Klein，1849--1925）

黎曼在 1849 年返回哥廷根大学跟随高斯读博士学位，他在复变函数的工作受到高斯的影响，他从高斯处知道复变函数也是保角变换，因此黎曼在复变函数的工作中，灵活地运用到了几何学，而偏微分方程（柯西-黎曼方程）也变得很重要。

他的博士论文《单复变量函数的一般理论基础》（Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse）在 1851 年提交。

黎曼的博士论文

在黎曼的博士论文中，他已经提出了单值化定理及其可能的证明。他的想法深入地影响了复变函数和复几何两门学科的发展，包括卡拉比猜想和瑟斯顿的几何结构定理。

卡拉比（Eugenio Calabi，1923--）瑟斯顿（William Paul Thurston，1946--2012）

从此以后，黎曼的工作改变了现代数学的面貌，无论是积分学、复变函数、黎曼面、黎曼几何、拓扑学、代数曲线、解析数论、电磁学、激波等学问都因为黎曼原创的想法，成为数学和物理学的主流。

他的博士论文继续柯西开始的复变函数论，但是他比柯西跨进了更大一步，他开创了黎曼曲面的观念。解决了复函数解析延拓的问题，深入了解欧拉时代出现的发散函数，包括  函数在内（参见《论小于给定数值的素数个数》（Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse，1859）。

柯西（Augustin Louis Cauchy，1789--1857）

 函数定义为

本来只是在实数上定义的  通过解析延拓可以在复平面上定义，黎曼又证明它有一个极为重要的对称性，就是  满足一个泛函方程.

在复平面上，可以讨论它的零点和极点的分布。黎曼发现它有深入的数论性质。他做了一个有划时代意义的重要猜想，即黎曼猜想，困扰数学界至于今日。这个猜想说黎曼  函数 的不平凡的零点必须在直线  上。这个猜想对素数的分布有深入的了解。

黎曼研究他的  函数的解析延拓及其在数论中应用的方法，在数学上有着极大的影响。

现代微分几何和量子场论在研究空间的拓扑时，往往需要用到指标定理，而指标定理的证明和应用都会需要处理拉普拉斯算子谱。

现代几何学家在处理这些问题的过程中，都会沿着黎曼的想法从谱中构造出类似  的函数，用黎曼的方法来处理它们的解析延拓。这样得到的复变函数和它们导数的零点，对于空间的拓扑带来了极为重要的几何讯息。在雷（Daniel Burrill Ray，1928--1979）-- 辛格（Isadore Manuel Singer，1924--2021）、阿蒂亚（Michael Atiyah，1929--2019）-- 辛格 -- 帕托迪（Vijay Kumar Patodi，1945--1976）、阿蒂亚 -- 博特（Raoul Bott，1923--2005）-- 帕托迪、威腾（Edward Witten，1951--）等人的文章中可以看到  函数在几何和物理学中的重要性。

辛格（Isadore Manuel Singer，1924--2021）阿蒂亚（Michael Atiyah，1929--2019）博特（Raoul Bott，1923--2005）威腾（Edward Witten，1951--）

在 1910 年时，希尔伯特指出数学物理上一个极为重要的问题，就是拉普拉斯算子谱的渐进分布。希尔伯特认为他有生之年不会见到解答。

但是一年后，他的学生外尔就用黎曼的方法将它解决了:

其中  是有界区域， 表示不超过  的拉普拉斯算子的狄利克雷特征根的个数， 是  中的单位球体积， 表示  的体积。

黎曼曲面的引入可以说是一举数得。它解决了很多基本复变函数，例如  的开方，，的多值定义问题：通过黎曼曲面得到完美的定义和了解（这个做法被称为单值化（uniformization））。

黎曼曲面的引入赋予了二维拓扑曲面一个重要的复结构，黎曼因此对拓扑学开始感到兴趣。他对于如何切割一个拓扑流形有重要的贡献，他将这些想法推广到高维空间，贝蒂跟从黎曼学习高维拓扑。

在一封信中，贝蒂指出“黎曼在与高斯就物理学中的一个话题进行交谈时，产生了用切割来描述曲面“连通序”的想法。”

贝蒂（Enrico Betti，1823--1892）

高斯和黎曼一直都对物理学有兴趣。事实上，当黎曼从柏林回到哥廷根时，他做过物理学家韦伯的助理。他研究如何融合光和电动力学，在一篇报告《对电动力学的贡献》（Ein Beitrag zur Electrodynamik） 中黎曼说：“我把我发现的电和光的联系在这里递交给了皇家学会。”

他在 1850 年到 1852 年间在韦伯的实验室中做助教，教导学生。他在 1854 年春天还在帮忙韦伯和科尔劳什量度韦伯常数  的重要实验。

韦伯这一代物理学家开始不再全部相信牛顿的光为粒子的理论，他做了重要的波动力学的实验，也学习泊松及菲涅尔的理论。他们重视假说演绎法（hypothetico-deductive method）。

韦伯（Wilhelm Eduard Weber，1804--1891）菲涅尔（Augustin-Jean Fresnel，1788--1827）

狄利克雷在聆听完韦伯的演讲后，说到：“通过最简单的实验发现的基本事实与人类思维与之相连的假设之间的严格分离，为真正的科学研究提供了一个无与伦比的模式。”

这一段日子，大部分物理学家在光粒子理论转为光波时刻，开始相信物理学的理论需要有一个假设。他们开始相信无论实验多准确，总比不上找到一个可以推导出一个能够解释现象的真实的理论。这个看法影响了黎曼在 1854 年的出名演讲。

在那里，他说：“几何学的命题（把空间与其他可以想象到的三维延申量区分开来的性质）不能先验地确认，而必须从经验中推导出来。这样就有一个问题，寻求那种足以规定空间度量关系的最简单的事实——根据这组事情的本质，这是一个不能完全确定的问题，因为允许有多组简单事实都可以用来规定空间的度量关系；对我们目前来说最重要的是欧几里得所奠定基础的那一组。这组事实，和其他事实一样，不是必然的，但仅是经验上的确认性，它们是假设。因此，我们可以研究它们的可信性，这可信性在观察的范围内当然是非常大的。”

由于复变函数的需要，黎曼开创了复曲线（尤其是代数曲线）的奠基理论，他综合了欧拉的椭圆积分，阿贝尔在这方面的研究，加上他自己引发的  函数等伟大贡献，可以说是近代代数几何的正式开始。

阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802--1829）对黎曼的评述

黎曼本来想跟着他父亲的脚步，去学神学，但是碰到伟大的数学家高斯以后，才知道自己的兴趣是数学，便毅然放弃神学去学数学。

除了在哥廷根见到高斯外，他的准备工作在柏林大学，在这两年中，他受到几位一代大师的熏陶，学习数论、椭圆函数和复变函数。这些学问影响了他的一生工作。

他回到哥廷根后，跟随高斯，但是也在当时的大物理学家韦伯的实验室中做了两年助教，帮忙韦伯量度磁学的常数，并且学习电磁学的理论。以后他在电磁学有极大的贡献，他推导出麦克斯韦方程中的三个方程，也推导出电磁场中的波动方程，知道电磁波以光速进行。

他的目标很是明显，他要了解数学的真髓，往往做大量的计算，从而了解到数学的内在结构。为了研究这些结构，他大胆地提出新的看法，走出一条前人未敢闯的新方向。

他的研究方向多姿多采，横跨数学好几个不同的领域，相互相成。

他的学问虽然以基础数学为主，但是他开始了激波的理论，并且在可压缩流体力学中，做出巨大的贡献。

黎曼手稿中大量的计算（照片由哥廷根大学图书馆授权《黎曼全集》中文版使用）我们看到黎曼这样伟大的学者，他们改变了世界的文化，我们不能不衷心地佩服。但是我们需要知道，他们的成功，是得到长期的文化积累 熏陶而成。

经过四十年改革开放以来的准备工作，中国已经可以迎接一个崭新的数学时代，使得我们的基础科学和世界并驾齐驱，甚至领导世界。但是今天中国要培养这样的大师，必须要超越已经进行了几十年的常规。同时，培养大师，必须要有大师水平的老师。西方的科学文化，累积了四百多年的经验。中国要加速成长，单是今天本土的中国数学家是不够的。

所幸我们的经济环境已经足够，我们可以集中一批全国的精英子弟，有大批世界一流的学者，和他们一起生活，一起学习，希望十年内达成我们的目标。这就是我们求真书院领军班成立的初衷。

为有牺牲多壮志，敢教日月换新天！2021 年 4 月 11 日，清华大学求真书院领军班成立（照片来源：清华大学）

从高斯到黎曼，再从黎曼到希尔伯特，到外尔，德国数学超越意大利、英国和法国，领导世界一百五十年之久，但是其他这些国家的数学也是历久不衰。在这个背景下，美国、俄罗斯和日本却在二十世纪中后叶异军突起，数坛江山，三分实有其二！

二十一世纪伊始，由于经济及文化传承的种种原因，西方列强及日本，强弩虽在，已经无复当年威风。

贾谊《过秦论》言及秦之兴，在于孝公变法。汉之兴，则在文景之后。

今日中国科学之兴，亦在此时乎!

谢谢！■

西方视点：

“《几何原本》是科学的基础，当年牛顿写《自然哲学的数学原理》，就是用《几何原本》的方法写的。二十世纪到现在，理论物理学家很看重的爱因斯坦提出的统一场论，也是受到《几何原本》的想法影响。

中国直到十九世纪才能够看到这本书的全貌，这表明中国的基础科学发展是很缓慢的”

重点：《几何原本》是科学的基础！！

而古代中国，根本就没有这种逻辑严密的公理体系，所以我的观点是----

中国古代没有科学！