同样的利率下，如何让账户里的钱翻倍？_风闻

同样的利率下，如何让账户里的钱翻倍？我们在预测数值增长的时候经常提到“指数增长”一词。自然底数e是指数增长模型中一个很常见的常数，那么自然底数是如何自然地出现的呢？

这张图很好地说明了指数增长的模式：茎分成两个分支，每一个分支又分成两个分支，依此类推。很快有很多的树枝，它们形成了一个浓密的树冠。

为什么自然底数e总出现在指数型增长模型中呢？

这个问题有一个纯粹的数学上的答案，但日常中它还能解决你在银行账户中“钱生钱”的问题，（当然如果是负债的话也可以算……），也就是复合利率的问题；同时还可以用到医药、流行病等等其他领域。今天我们用一个便于理解的方式来解释。

想象一下，如果你在银行有N块钱（基本量），也就是本金，每块钱在一周后都可以获得固定的r元（产出），就是利润，那么t周后你的账户里会有多少钱（总量）呢？

N+rN=N(1+r)

来，我们从N元开始计算，在第一周N中每一份都会获得r元，那么一周后我们就可以获得rN元，加上我们已有的N，那么我们第一周就会有N+rN=N(1+r)元。

第二周，已有的数目又继续乘以因子r，也就是说有rN(1+r)元钱加入到原有的N(1+r)中，这样的话第二周我们就有：

N(1+r)+r****N(1+r)=N(1+r)(1+r)=N(1+ r)2

这么多。

类似的，第三周本金是N(1+ r)2 ，加上获得的利润 rN(1+ r)2，那么一共是：

N(1+ r)3

找到规律了吗？继续计算，那么t周之后你就会获得 N(1+ r)t 元。

下图展示了N为1时，10周内总量的增加情况。戳这个图片链接可以看到数值的动态变化，你可以通过滑动左侧的的条来改变r。

我们能立刻看出图像更像一个台阶，而不是一个曲线，这是因为我们之前假设的是在每周的结束时（在周日的半夜时分有一个突变）我们获得利润。

但其实这样的话我们就会大大低估实际的数量！因为我们忽视了由事物A（前面说的本金）产生B（利润），其实不一定要等到一周的周末，而是可以更早地产生利润，而获得的总量其实也可以在周末之前产生新的利润……这样之前我们计算时其实都忽略了这种可能性，从而大大低估了最后的数值。

如何赚得更多

既然如此，让我们计算得更详细一些，我们假定每天都获得一次利润，每块钱每天的收益是r/7，这样保持一周的利润总量还是r。那么第一周周末你会获得多少钱呢？计算方法实际上和之前的是一样的，只不过把单位从周换成了天，利润从r变成了r/7，那么第一周周末你的总资产就会变为：

N(1+ r/7)7

这样的话到了t周之后，也就是7t天之后，总量就会变为：

N(1+ r/7)7t

那如果利润每时每刻地产生呢？那我们的估计可能对于第一次的计算来说又有了一些改变——毕竟第二次改良相比于初始计算只是把时间节点从每周末换到了每天的结束而已，如果时间节点换成每半天结算一次呢？那当天就有两次的利润结算了。

那下一步，就是把我们结算的基础周期从每天，改为每小时，或者做得更精确一些，改成每分钟或者每秒。

实际上，我们可以考虑更普遍的情况——让我们将一周分为n个时长相等的周期，n的值可以取很大，使得每个周期长度非常短，根据上面的推理，我们可以假定每过一个周期，每个单位的本金在每个周期时间内产出r/n，根据上面提到的推导，我们可以得出t周之后的总量为：

N(1+ r/n)nt

逼近极限

那么，如果n取得越来越大这个表达式会怎么样呢？这样的话也就意味着产出的周期就会越来越小。

我们主要来看表达式中的一部分，(1+ r/n)n 的部分，当n越来越大时（随着n的增加），这个表达式趋近于 er，其中的e就是欧拉数（Euler’s number，也叫自然底数）。也就是说，当我们假设产出的周期趋近于无穷小、即随着时间推移在不断产出时，总量的变化就是指数型变化，而其中的数字e就由此产生了。

那么，回到之前的t周之后总量的式子

N(1+ r/n)nt=N((1+ r/n)n)t

根据上述的推论，当n增加到非常大时，这个式子趋近于

N(er)t =Ner****t

下图是基本量N=1时，随结算时间的总量变化：

最后需要注意到的就是变化的量t，我们之前用它来表示周数；还有参量r，我们用它来表示每周的单位基本量的产出量（产出率）。一般情况下，t可以不再指周数了，t也可以是天数，相应的r就调整为每天的产出率，最后的我们的获得量还是一个与上述表达式当中的e有关的量。那么我们可以类比地用t来衡量小时、分钟或是秒，你可以通过计算的对象来做出相应的改变。比如之前的例子中，银行一般用的是年利率，那么t的周期就是一年；对于细菌的数量来说，由于其增殖速度很快，t的周期会大大减小；而计算流行病时，t会随着疾病感染的时间变化。

钱会消失吗

在我们之前的讨论中，我们一直假定每周都有新的东西生成。但如果这个量也会减少呢？比如在传染病流行过程中会有人愈合或死亡，那么感染人数就会减少。

实际上，我们的计算过程并不会有什么改变：我们把增加量和减少量的总和看成新的增加量，只需要在总量减少时，将之前的增长率r取负数就可以了。计算出的t时间后的总量还是会趋于式子：

Ner****t

可以从下图看出当N=1、r=-0.5时，获得量随时间的指数减小的情况，数学家称之为“指数衰减”。

指数模型不是万能的

像所有的数学模型那样，指数模型也有一些自身的限制并带来了一定的问题。

对于感染病的传播来说，因为有人患病后愈合或者不幸去世，所以感染的总人数并不会像模型中的一样飞快增加，而是会相对减小，所以实际中指数增长模型只是会在爆发后的一个相对合理的周期内符合，它并不会永久地做出很好的预测。

还有许多东西不能直接使用指数模型计算，在流行病的传播过程中，由于个体的差异，受到感染的人的发病时间会有不同，随着时间的推移以及其他的原因，增长也会发生变化。要让自己构建的数学模型更加精确、时效性更长，就需要考虑更多复杂的因素。

尽管如此，对于预测问题的性质和走向来说，指数模型仍然是非常有力的工具，同时也向我们展示了数字e的迷人和强大。

作者：Marianne Freiberger

翻译：zhenni

审校：Dannis

原文链接：

https://plus.maths.org/content/compound-infections