九九乘法表的推导公式=二年级女儿的独立发现+父女共同拓展验证+爸爸归纳推理_风闻
末那识-学以养识,以识统学。(心迷法华转,心悟转法华)2020-11-07 14:25
九九乘法表竟然可以用一个公式推导出来!这是我二年级女儿的独立发现!
当然了,公式是我推导和写出来的,孩子还不具备用数学语言尤其是符合语言思考和表述的能力,但是,这个公式所体现的规律确实是女儿发现的,而且是独立发现。
也即是说,女儿做了0到1的突破,我辅助她完成了从1到N的完整工作。
以下按照时间线复盘这件事的过程。
国庆假期期间,女儿在写数学作业中关于乘法的题目时,发现乘法口诀中关于9的乘法好像有一个规律,经过验证,确实有规律,这个规律是:后一句口诀中的得数是前一句口诀中得数的“十位之数加1、个位之数减1”。
具体看:
1×9=09
2×9=18
3×9=27
4×9=36
5×9=45
6×9=54
7×9=63
8×9=72
9×9=81
确实如此:
18是09这个数的十位之数加1、个位之数减1;
27是18这个数的十位之数加1、个位之数减1;
36是27这个数的十位之数加1、个位之数减1;
依此类推,直到9×9=81的81亦是如此。
然后我跟女儿说试试8怎么样,结果发现其中亦有规律,这个规律是:后一句口诀中的得数是前一句口诀中得数的“十位之数加1、个位之数减2”;但有个位之数不够减、十位之数不变的情况,这个情况是一个关卡,影响这个规律是否仍然成立。
具体看:
1×8=08
2×8=16
3×8=24
4×8=32
5×8=40
6×8=48
7×8=56
8×8=64
9×8=72
从08到40均满足这个规律:
16是08这个数的十位之数加1、个位之数减2;
24是16这个数的十位之数加1、个位之数减2;
32是24这个数的十位之数加1、个位之数减2;
40是32这个数的十位之数加1、个位之数减2;
但到48时情况就不对劲了,如果仍按这个规律,则这里的48应该是一个个位为(0-2)、十位为(4+1)的两位数。个位之数不够减、十位之数不变(还是4),这成了一个关卡,怎么破?
还好,灵光乍现,突然意识到借位减法可以用到这里来打通这个关卡。
用借位减法,则个位之数的(0-2)就成了(0+10-2)即8、十位之数为(4+1-1)即4,与应得得数48相同。
关卡打通。这个规律仍然成立。
后面的:
56是48这个数的十位之数加1、个位之数减2;
依此类推,直到9×8=72的72亦是如此。
9的乘法和8的乘法中的规律有类似也有不同,十位之数都是加1,个位之数则是9的乘法中减1、8的乘法中减2,而且上述关卡也需要继续考察。
于是,继续看7的乘法。结果发现其中亦有规律,这个规律是:后一句口诀中的得数是前一句口诀中得数的“十位之数加1、个位之数减3”,且仍然有上述关卡,且关卡仍然可以用上述借位减法去打通。
具体看:
1×7=07
2×7=14
3×7=21
4×7=28
5×7=35
6×7=42
7×7=49
8×7=56
9×7=63
确实如此:
14是07这个数的十位之数加1、个位之数减3;
21是14这个数的十位之数加1、个位之数减3;
28是21这个数的十位之数加1、个位之数减3;(用借位减法处理)
35是28这个数的十位之数加1、个位之数减3;
依此类推,直到9×7=63的63已是如此。
综合看9、8、7的乘法,发现:
十位之数都是加1、个位之数减去的数分别是(10-9)、(10-8)、(10-7)。
这个发现让我惊叹不已、欣喜若狂。
因为,按此推论,则:
6的乘法是“十位之数加1、个位之数减(10-6)即4”,
5的乘法是“十位之数加1、个位之数减(10-5)即5”,
4的乘法是“十位之数加1、个位之数减(10-4)即6”,
3的乘法是“十位之数加1、个位之数减(10-3)即7”,
2的乘法是“十位之数加1、个位之数减(10-2)即8”,
1的乘法是“十位之数加1、个位之数减(10-1)即9”,
如是,则其中必有一个能整体贯通的规律,可以用一个公式来统筹表达的规律。
按此思路,将九九乘法表拓展及按上述规律进行验证计算如下表:

从中可归纳出一个贯通性的规律,用数学符号语言表述如下:
当已知(m-1)×n=xy时(其中,xy表示一个个位之数为y、十位之数为x的两位数),
则可推知m×n的值为一个个位之数为【y-(10-n)】、十位之数为(x+1)的两位数,且:
1、当十位值为零时,则表示为一位数即一个个位数;
2、当y<(10-n)时,则个位算式按借位减法从十位借而表示为【y+10(10-n)】,十位算式则表示为(x+1-1)。
按此规律,从m=1也即m×n=****1×n=n开始,即可用已知的n依次推知**m=2、**m=3、******m=4、************m=5、************m=6、************m=7、**m=8、m=9时m×n的得数。
举例1:
当已知1×9=09时,则2×9=18,其中,个位的8按算式【9-(10-9)】=8算得,十位的1按算式(0+1)=1算得;
当已知2×9=18时,则3×9=27,其中,个位的7按算式【8-(10-9)】=7算得,十位的2按算式(1+1)=2算得;
以此可逐步推知4×9=36、5×9=45、6×9=54、7×9=63、8×9=72、9×9=81。
举例2:
当已知1×7=07时,则2×7=14,其中,个位的4按算式【7-(10-7)】=4算得,十位的1按算式(0+1)=1算得;
当已知2×7=14时,则3×7=21,其中,个位的1按算式【4-(10-7)】=1算得,十位的2按算式(1+1)=2算得;
当已知3×7=21时,则4×7=28,其中,个位的1按算式【1+10-(10-7)】=8算得,十位的2按算式(1+1-1)=2算得,这里是y<(10-n)的情况,故用借位减法;
以此可逐步推知5×7=35、6×7=42、7×7=49、8×7=56、9×7=63。
根据上述举例,上述规律可通俗地表达为:
只要知道了:
1×9=09、1×8=08、1×7=07、1×6=06、1×5=05、1×4=04、1×3=03、1×2=02、1×1=01,
则可根据个位之数为【y-(10-n)】、十位之数为(x+1),依次推算出:
2×9、3×9、4×9、……、9×9;
2×8、3×8、4×8、……、9×8;
2×7、3×7、4×7、……、9×7;
……
2×1、3×1、4×1、……、9×1;
的得数。