九九乘法表的推导公式=二年级女儿的独立发现+父女共同拓展验证+爸爸归纳推理_风闻

九九乘法表竟然可以用一个公式推导出来！这是我二年级女儿的独立发现！

当然了，公式是我推导和写出来的，孩子还不具备用数学语言尤其是符合语言思考和表述的能力，但是，这个公式所体现的规律确实是女儿发现的，而且是独立发现。

也即是说，女儿做了0到1的突破，我辅助她完成了从1到N的完整工作。

以下按照时间线复盘这件事的过程。

国庆假期期间，女儿在写数学作业中关于乘法的题目时，发现乘法口诀中关于9的乘法好像有一个规律，经过验证，确实有规律，这个规律是：后一句口诀中的得数是前一句口诀中得数的“十位之数加1、个位之数减1”。

具体看：

1×9=09

2×9=18

3×9=27

4×9=36

5×9=45

6×9=54

7×9=63

8×9=72

9×9=81

确实如此：

18是09这个数的十位之数加1、个位之数减1；

27是18这个数的十位之数加1、个位之数减1；

36是27这个数的十位之数加1、个位之数减1；

依此类推，直到9×9=81的81亦是如此。

然后我跟女儿说试试8怎么样，结果发现其中亦有规律，这个规律是：后一句口诀中的得数是前一句口诀中得数的“十位之数加1、个位之数减2”；但有个位之数不够减、十位之数不变的情况，这个情况是一个关卡，影响这个规律是否仍然成立。

具体看：

1×8=08

2×8=16

3×8=24

4×8=32

5×8=40

6×8=48

7×8=56

8×8=64

9×8=72

从08到40均满足这个规律：

16是08这个数的十位之数加1、个位之数减2；

24是16这个数的十位之数加1、个位之数减2；

32是24这个数的十位之数加1、个位之数减2；

40是32这个数的十位之数加1、个位之数减2；

但到48时情况就不对劲了，如果仍按这个规律，则这里的48应该是一个个位为（0-2）、十位为（4+1）的两位数。个位之数不够减、十位之数不变（还是4），这成了一个关卡，怎么破？

还好，灵光乍现，突然意识到借位减法可以用到这里来打通这个关卡。

用借位减法，则个位之数的（0-2）就成了（0+10-2）即8、十位之数为（4+1-1）即4，与应得得数48相同。

关卡打通。这个规律仍然成立。

后面的：

56是48这个数的十位之数加1、个位之数减2；

依此类推，直到9×8=72的72亦是如此。

9的乘法和8的乘法中的规律有类似也有不同，十位之数都是加1，个位之数则是9的乘法中减1、8的乘法中减2，而且上述关卡也需要继续考察。

于是，继续看7的乘法。结果发现其中亦有规律，这个规律是：后一句口诀中的得数是前一句口诀中得数的“十位之数加1、个位之数减3”，且仍然有上述关卡，且关卡仍然可以用上述借位减法去打通。

具体看：

1×7=07

2×7=14

3×7=21

4×7=28

5×7=35

6×7=42

7×7=49

8×7=56

9×7=63

确实如此：

14是07这个数的十位之数加1、个位之数减3；

21是14这个数的十位之数加1、个位之数减3；

28是21这个数的十位之数加1、个位之数减3；（用借位减法处理）

35是28这个数的十位之数加1、个位之数减3；

依此类推，直到9×7=63的63已是如此。

综合看9、8、7的乘法，发现：

十位之数都是加1、个位之数减去的数分别是（10-9）、（10-8）、（10-7）。

这个发现让我惊叹不已、欣喜若狂。

因为，按此推论，则：

6的乘法是“十位之数加1、个位之数减（10-6）即4”，

5的乘法是“十位之数加1、个位之数减（10-5）即5”，

4的乘法是“十位之数加1、个位之数减（10-4）即6”，

3的乘法是“十位之数加1、个位之数减（10-3）即7”，

2的乘法是“十位之数加1、个位之数减（10-2）即8”，

1的乘法是“十位之数加1、个位之数减（10-1）即9”，

如是，则其中必有一个能整体贯通的规律，可以用一个公式来统筹表达的规律。

按此思路，将九九乘法表拓展及按上述规律进行验证计算如下表：

从中可归纳出一个贯通性的规律，用数学符号语言表述如下：

当已知（m-1）×n=xy时（其中，xy表示一个个位之数为y、十位之数为x的两位数），

则可推知m×n的值为一个个位之数为【y-（10-n）】、十位之数为（x+1）的两位数，且：

1、当十位值为零时，则表示为一位数即一个个位数；

2、当y＜（10-n）时，则个位算式按借位减法从十位借而表示为【y+10（10-n）】，十位算式则表示为（x+1-1）。

按此规律，从m=1也即m×n=****1×n=n开始，即可用已知的n依次推知**m=2、**m=3、******m=4、************m=5、************m=6、************m=7、**m=8、m=9时m×n的得数。

举例1：

当已知1×9=09时，则2×9=18，其中，个位的8按算式【9-（10-9）】=8算得，十位的1按算式（0+1）=1算得；

当已知2×9=18时，则3×9=27，其中，个位的7按算式【8-（10-9）】=7算得，十位的2按算式（1+1）=2算得；

以此可逐步推知4×9=36、5×9=45、6×9=54、7×9=63、8×9=72、9×9=81。

举例2：

当已知1×7=07时，则2×7=14，其中，个位的4按算式【7-（10-7）】=4算得，十位的1按算式（0+1）=1算得；

当已知2×7=14时，则3×7=21，其中，个位的1按算式【4-（10-7）】=1算得，十位的2按算式（1+1）=2算得；

当已知3×7=21时，则4×7=28，其中，个位的1按算式【1+10-（10-7）】=8算得，十位的2按算式（1+1-1）=2算得，这里是y＜（10-n）的情况，故用借位减法；

以此可逐步推知5×7=35、6×7=42、7×7=49、8×7=56、9×7=63。

根据上述举例，上述规律可通俗地表达为：

只要知道了：

1×9=09、1×8=08、1×7=07、1×6=06、1×5=05、1×4=04、1×3=03、1×2=02、1×1=01，

则可根据个位之数为【y-（10-n）】、十位之数为（x+1），依次推算出：

2×9、3×9、4×9、……、9×9；

2×8、3×8、4×8、……、9×8；

2×7、3×7、4×7、……、9×7；

……

2×1、3×1、4×1、……、9×1；

的得数。