物理世界的数学奇迹：全新的数学之路_风闻

一些数学家同事觉得我交了狐朋狗友，这些狐朋狗友不仅让我的理论推导变得马虎起来，还玷污了数学的纯洁性。

—— 迈克尔·阿蒂亚，在80岁生日庆祝会上的讲话，2009

撰文 | 格雷厄姆·法梅洛

来源：和乐数学

阿蒂亚

1976年春天，我平生第一次见到一位纯数学家给一群物理学家做讲座。当主持人像介绍外星人一样介绍他时，我不禁觉得有些好笑。这次讲座的主讲人就是现代几何学宗师迈克尔·阿蒂亚，他因对柏拉图世界天马行空式的探索为人们所熟知。他的讲座主题是关于规范理论方面的内容，但我对那次讲座已经没什么印象了，只记得阿蒂亚兴高采烈的样子以及那些难得像天书一样的数学方法。虽然他当时演讲的主题都是在座听众熟悉的理论，但几乎没有人明白他在讲什么。

不过，我倒是抓住了一个重要信息，那就是：一位当世顶尖的数学家正把自己的主要精力投入到许多物理学家觉得自己已经研究透彻了的理论中。几个月后，我才突然察觉，阿蒂亚和他的合作者们正在开辟一条全新的数学之路。不仅数学家对这条路产生了浓厚的兴趣，物理学家也同样如此。

虽然现在想来真的颇为羞愧，但我还是得承认，我当时认为——甚至是希望——数学和物理学之间的这种交叉只是出于学术兴趣，只能成为这两门学科历史中的注脚。然而，不到两年，我就意识到自己是多么愚蠢。事实证明，规范理论和纯数学之间的共同土壤不但比大多数人预想的更加肥沃，而且还在迅速扩张。在这片土地上耕耘的不仅有数十位顶尖数学家，还有几位首屈一指的理论物理学家，其中还包括一位即将引领这个领域数十年的大师。我们将在本章中看到，当时参与这项跨学科研究的专家虽然不多，但他们对数学和物理学这两门学科都做出了巨大贡献。也正是他们，终结了数学和物理之间的漫长离异状态。

2014年，在我第一次与迈克尔·阿蒂亚面对面交流的前几分钟，我就明白了为什么他能让这么多数学家把研究重心转向物理学理论。要想给一门学科带来如此剧烈的改变，领导者的智慧必须得到所有同僚的认可。阿蒂亚显然做到了这点，他在诸多数学领域都做出了突破性的贡献。不过，成为杰出开拓者所需的品质远远不止这些，尤其还需要高度的积极性和高超的口才，这两点阿蒂亚也都具备。阿蒂亚一点儿也不像是人们刻板印象中的数学研究者。他总是衣着时髦，乐观积极（甚至还很会开玩笑），时常发表针对自己研究领域的大胆观点——在部分同行看来，他的这些观点不太成熟、不合时宜，根本不应该说出口。“朋友对我说，我太想激发人们对狂野想法的热情了。”阿蒂亚一边开怀大笑一边这样对我说。

阿蒂亚很喜欢谈论数学史以及他自己走向数学前沿的心路历程。在我们2014年的那场对话中，阿蒂亚慷慨激昂地表示，他永远不会在数学之路上停歇，哪怕到生命的最后一刻。他说这番话时的样子，就像一位友好但异常健谈的军事训练官。我想，这种人格特质或许起源于他早年的部队生活。阿蒂亚在第二次世界大战结束后不久参军服役，他后来称这段时间为“平凡的军旅生涯”。1949年，阿蒂亚在服完兵役后，前往剑桥大学三一学院求学，开启了他的数学生涯。他的母亲出生于苏格兰，父亲则是黎巴嫩人，他们一直觉得，阿蒂亚就是为数学而生的。

阿蒂亚在本科时上了狄拉克主讲的量子力学课，还选修了一些其他物理学课程，但他最喜欢做的还是数学研究。数学对他来说，就像呼吸一样自然。阿蒂亚还意识到，他对几何的兴趣要比代数大得多——处理以可视化现实为基础且与空间相关的概念时，他得心应手；处理抽象的x和y时，就没有那么轻松愉快了。那个时候，越来越多的现代物理学理论以几何数学为框架，因此，阿蒂亚的基础很适合他为现代物理学做贡献。

在阿蒂亚成为他自称的“准物理学家”将近40年后，他仍旧记得（带着些许困惑）“二战”后纯数学家和理论物理学家之间长达数十年的隔阂。他把这两个领域的学者比作在隧道两头工作的工人，谁都不知道隧道另一头在干什么。“隧道挖通的那一天，双方都惊奇不已，”阿蒂亚如是说，“两段隧道之间的衔接是那样优美，就好像是天才的土木工程师设计的一样。”

阿蒂亚说的并不是20世纪70年代初的所有数学家和理论物理学家，而只是几何学家和规范理论物理学家。虽然研究角度不同，但他们发现双方的确是在同一领域内工作。当时，理论物理学家正在研究支配原子世界的基本力，而数学家的兴趣则在高等的拓扑学形式。拓扑学这门学科很适合研究描述原子内部四处涌现的各类量子粒子的场的各种可能的形状和结构。规范理论和现代几何学不仅彼此相容，还可以互相促进。规范理论方面的研究得出了深刻的几何学新洞见，而几何学领域的一些最新发现也提供了研究规范理论的新视角——再多的实验数据都提供不了这样的视角。

赫尔曼·外尔

近当代所有促进了物理和数学间联系的思想家中，最有创造力的当属规范理论的先驱赫尔曼·外尔。他也是阿蒂亚最欣赏的20世纪数学家，哪怕两人从未谋面。阿蒂亚和外尔两人对数学的看法有诸多相似之处，尤其是，他们都认为数学应该努力成为一个整体，而不是一门在各自领域独立为战的学科；数学家则应该注重提出富有创造力的想法，而不是为了严谨而止步不前。同外尔一样，阿蒂亚也认为做数学研究的最好方法不止一种：“数学家的类型有很多，他们都是不可或缺的。” 他们两人也都认为，数学家应当同其他领域的专家多交流观点，尤其是物理学家。

阿蒂亚在20岁的时候曾前往法国南部，出席了布尔巴基学派的一次会议。会上，他亲眼见证了有关会议日程细节的数次争论。不过，这种分歧从未失控，阿蒂亚回忆说：夏日的阳光和友好的氛围“在预防口头分歧演变成武装械斗方面起到了很好的作用”。虽然阿蒂亚看到了布尔巴基学派成果的价值，但他不想被这个团体的条条框框束缚。相反，他像外尔一样张开了双翼，在数学的许多领域都颇有建树，并且成为其中一门学科最有影响力的天才。

外尔对理论物理学所做的贡献主要产生于职业生涯初期，而阿蒂亚在对现实世界产生兴趣的20年之前就已经是颇有名望的数学家了。“并不是我改变了研究领域，转行去研究物理学，”他说，“而是，物理学在20世纪70年代中期进入了我的研究方向。” 当时的数学界兴起了一场运动：一些顶尖数学才俊大胆地走出舒适区，将自己的专长应用于科学领域，并且鼓励学生以更开阔的思路做自己的学问。阿蒂亚正是这场运动的一分子。这些勇于冒险的顶尖思想者中，还有美国数学家凯伦·乌伦贝克（Karen Uhlenbeck）。她到现在还记得当时迫不及待想用纯数学家的“开阔新思路”大干一番的心情。这种潮流开始于20世纪60年代末。“我们是这股新潮流的一部分，喜欢观察数学之外的世界，并且很乐意与物理学家、天文学家，甚至经济学家合作研究。”

凯伦·乌伦贝克

“当时，布尔巴基学派的影响力正在迅速减弱。”乌伦贝克说。那些反对这个学派的知名人士的声音越来越大——既然布尔巴基对那些显然重要的数学分支，如几何学、概率论、逻辑学，都没有什么杰出贡献，那为什么还要如此看重他们呢？如布尔巴基学派最知名的前成员亚历山大·格罗滕迪克所说，当时，这位拿破仑时代将军的名字不仅成了精英主义和教条主义的同义词，还意味着这个组织正在“阉割反自发性”（格罗滕迪克语）。虽然布尔巴基学派还没有咽下最后一口气，但它的半只脚已经踏进了坟墓。

布尔巴基学派

新一代数学家对布尔巴基的紧身衣毫无兴趣，他们发展了大量新的数学理论，并且热衷于探索它们在现实世界中的应用。其中一个例子是“混沌理论”的快速发展。这个理论研究那些后期发展结果对初始状态十分敏感的系统。如今，最为人们熟知的数学混沌就是所谓的“蝴蝶效应”——蝴蝶扇动几下翅膀就能影响几天后千里之外某处的天气。这个例子背后的数学概念为我们看待现实世界提供了新洞见：从动物种群的演化，到土星卫星的稳定性；从计算机代码加密，到股票市场波动。

乌伦贝克说，数位无可争议的世界顶级数学家欣然与其他学科的专家合作，这让“满怀壮志的年轻数学家大胆进入粒子物理学领域成了一种颇受尊崇，甚至有些时髦的行为”。乌伦贝克回忆说，在20世纪70年代初的加州大学伯克利分校，纯数学和理论物理学之间的漫长“离异”状态即将终结。她看到，虽然许多传统数学家仍对这种跨学科合作嗤之以鼻，但后来，物理与数学的成功合作证明持怀疑态度者“彻底错了”。乌伦贝克牢牢记着从这段经历中学到的深刻教训：“数学研究者需要物理学家的想法。你甚至可以说，没了他们，我们没法开展工作。”

阿蒂亚在20世纪70年代中期把目光投向了物理学。当时他46岁，在牛津大学安顿了下来，已然是一位顶尖数学家，并且正朝着英国顶级学术人物的圈子稳步迈进。阿蒂亚为数学做出了许多颇有影响力的贡献。宽泛地说，这些贡献主要集中于几何学领域。他还常常和那个时代的顶尖数学家合作。按照弗里曼·戴森对物理学家和数学家的“鸟与青蛙”分类法，阿蒂亚就是一只典型的鸟儿，在各个数学领域中疾驰，不断寻找各分支间的联系。

大约就在此时，亚原子物理学规范理论的成功抓住了阿蒂亚的眼球。标准模型能完美地解释高能粒子加速器得出的几乎所有实验数据，但阿蒂亚对此并没有太多兴趣。令他着迷的是构成标准模型基础的规范理论的数学结构。他清楚地看到，物理学家只是初步掌握了这些数学框架，而数学家可以帮助他们深耕下去。30年前，戴森捕捉到了一个数学家帮助物理学家解决量子电动力学难题的机会。30年后，阿蒂亚自信地认为如果他进入规范理论领域，一定能和戴森一样大获成功。

阿蒂亚至今仍清晰地记得第一次对规范理论“倾心”的时刻，那是1976年的秋天，他在马萨诸塞州剑桥市造访数学家同行期间，意外地接到了麻省理工学院理论物理学家罗曼·贾基夫（Roman Jackiw）的求助电话。当时有几个严峻的问题不断困扰着规范理论，其中一个问题是：物理学家无法预测某些发生强相互作用的粒子的寿命，包括质子的亲戚、物理学家熟知的不带电介子。贾基夫就是研究这个问题的权威。人们在1948年首次发现了这些不带电介子，它们的寿命不长——每个不带电介子诞生后，通常只能“存活”一亿分之一秒，之后就会衰变成两个光子。

长期以来，理论物理学家一直在研究介子的这类性质，而规范理论并没有给出这个问题的答案。贾基夫和其他理论物理学家——包括著名的约翰·贝尔（John Bell）和史蒂夫·阿德勒（Steve Adler）——之前就已经意识到，这个问题的根源在于经典力学和量子力学之间的根本差异。举例来说，描述网球运动的方程的一些对称性并不适用于描述亚原子粒子方程。如果规范理论真像理论物理学家说的那么好，那么它就必须能解释这些“量子反常现象”，即令人大惑不解的不带电介子衰变行为。贾基夫在深思熟虑后认为，要想彻底弄清楚这个问题，就需要数学家的协助。于是，有一天，他突然造访了麻省理工学院数学系——它与物理系只隔着一扇上了锁的门。

贾基夫在数学系走廊里待了几个小时，希望能勾起数学家对这个问题的兴趣，但所有人都只是出于礼貌而表达了些许“兴趣”。不过，贾基夫马上就转运了。数学物理学家杰弗里·戈德斯通（Jeffrey Goldstone）告诉他，“伟大的阿蒂亚”就在剑桥市，或许可以帮上忙。一听这个消息，贾基夫立刻为之一振，他早就觉得阿蒂亚和伊萨多·辛格（Isadore Singer）在1963年（大约就在披头士乐队发布第一张密纹唱片前后）发表的理论或许可以解决这类量子反常现象。这个理论在此前似乎毫无关联的两个数学分支（拓扑学和微积分）之间建立起了一种完全意想不到的联系。因此，贾基夫邀请阿蒂亚向一些具备数学思维的理论物理学家（包括他自己）做个报告，讲讲这个理论及其在亚核粒子领域可能的应用。

几天后，满面春风的阿蒂亚走进了贾基夫宽敞的办公室。办公室内座无虚席，坐满了渴望聆听“神谕”的年轻理论物理学家，书架上则摆满了书、纸和中美洲手工艺术品。在礼节性的介绍之后，阿蒂亚开始了大约2小时的讲课，时而停下来在黑板上写写画画，时而回答听众的问题。“这正是我们渴望的那种清晰的讲述。”贾基夫回忆说，讲课后来很快发展成了一场气氛活跃的对话。现场的物理学家们偶尔会插话，询问阿蒂亚–辛格定理能与原子核中的量子场形成何种联系，而阿蒂亚则以他一贯坚定的态度予以回答，显然，他已经对这个物理学问题产生了兴趣。很明显，这个理论适合处理量子反常问题，并且很可能能够产生实验学家可以验证的预测。果然，几个月后，几位理论物理学家就证明，运用阿蒂亚–辛格定理分析电中性介子量子场的方程就能理解“量子反常问题”。很快，粒子物理学家都获知：自己研究领域内的一大棘手问题——“量子反常现象”，可以用他们中的大多数人从没听说过的现代数学方法解决。而阿蒂亚本人也很高兴自己和辛格发现的这个定理在亚原子粒子研究领域如此有用。许多物理学家则惊叹，自己研究领域内如此艰深的一大难题竟然可以被联系了拓扑学和微积分的数学定理如此轻易地解决。

阿蒂亚后来告诉我，他在和辛格发展这个定理的时候，“从没想过我们的数学成果会和现实世界产生联系”。他还遗憾地补充说，他俩在研究这个定理时，发生了一些奇怪的事：在整个抽象几何推演过程中——这个过程和现实世界毫无干系——突然跳出了狄拉克方程中描述电子状态的数学算子。“我们当时只觉得这是巧合，”阿蒂亚说，“结果却失去了一个做出重大物理学发现的良机。”

爱德华·威滕

事实证明，贾基夫办公室内的这场聚会对那个时代的数学和物理学都意义重大。在聆听阿蒂亚讲课的理论物理学家中，就包括年轻的爱德华·威滕（Edward Witten）。当时的他虽然年纪只有阿蒂亚的一半左右，却注定要成为一代数学物理学宗师。阿蒂亚还记得威滕不凡的仪态：6英尺（约1.83米）高，背挺得直直的，自信但说话柔声细语，声音音调则要比他这个体格应有的高近一个八度。40年后，阿蒂亚跟我说起威滕在这次聚会上给他留下的第一印象：“显然，他比在座的其他所有物理学家都更清楚当时的状况。他的思维快得惊人，对现代数学思想的掌握也非常牢固，并且还一直在寻找将这些思想运用于物理学的方法。”

和50年前的狄拉克一样，威滕走向理论物理学生涯的道路也与众不同——他也是直到研究生才转行进入物理学领域。受到父亲（引力理论方面的权威）的影响与鼓励，威滕从小就喜欢天文、物理和数学。起初，年轻的威滕并不想沿着父亲的足迹进入理论物理学领域。相反，他在本科生阶段学起了历史和现代语言，并且为乔治·麦戈文并不走运的总统竞选工作了一年，随后又开始了经济学研究生课程，但只过了一个学期就放弃了。直到那时，25岁左右的威滕才开始在大学里学习科学。

一开始，他并不确定究竟要学物理还是数学，但他对亚原子粒子的奇特性质很感兴趣，这让他决定专攻理论物理学领域。尽管当时的威滕连本科生的科学水平都没达到，普林斯顿大学还是把他招进了竞争异常激烈的研究生课程。事实证明，这些课程对威滕来说是小菜一碟，他在1976年顺利毕业。之后，威滕前往哈佛大学担任初级研究员，与两位杰出的理论粒子物理学家史蒂文·温伯格和谢尔登·格拉肖共事。这两位专家总结亚原子粒子实验新数据并得出新想法的专业水平令威滕印象深刻。此外，威滕还和理论物理学家悉尼·科尔曼（Sydney Coleman）走得很近，而后者对如何将现代数学应用于基础物理学很感兴趣。威滕显然受到了这种兴趣的感染，不到一年，有关他非凡才能的故事就在全球理论物理学界传得沸沸扬扬了。阿蒂亚评论说：“威滕这类思想家不只能影响一门学科的天气。他能改变整个学科的气候。”

杨振宁

到了20世纪70年代中叶，全世界的物理学家和数学家都注意到了规范理论和几何学之间的联系。第一个看到这种联系的就是现代规范理论的发现者之一——杨振宁。他已于1966年离开了普林斯顿高等研究院。当时43岁的杨振宁作为一名华人物理学家，在长岛北岸的纽约州立大学石溪分校任教。邀请他的是该校数学系雄心勃勃的新领导、青年拓扑学家吉姆·西蒙斯（Jim Simons）。他俩很快就熟络了起来，并且相处愉快，还为反对美国参与越南战争在校园里筹集了破纪录的资金。他们的下一次合作更加成功。这次合作的起点是，西蒙斯告诉杨振宁，规范理论方程组的形式和爱因斯坦的引力理论似乎都表明，它们与拓扑学的一个名叫“纤维丛”的分支有关——当时的杨振宁对这个术语一无所知。西蒙斯推荐杨振宁阅读这个领域的标准入门著作——普林斯顿数学家诺曼·斯廷罗德（Norman Steenrod）撰写的《纤维丛拓扑学》。杨振宁发现这本书他根本读不懂，但他也没有放弃，转而请求西蒙斯花上几天的午饭时间在物理系从基本原理开始给他好好上上这门拓扑学课。经过这次突击培训，杨振宁终于掌握了这个数学思想，并且在20世纪70年代中叶得出结论：规范理论的最佳表述语言是拓扑学。

几个月后，杨振宁和他的朋友、哈佛大学理论物理学家吴大峻做出了一个具有开创意义的发现。他们找出了规范理论中数个核心概念与现代拓扑学对应概念之间的联系。这个发现后来形成了著名的“吴–杨字典”。有了这个字典，物理学家和拓扑学家就能互相交流各自在这个领域的工作成果，并朝着对规范理论物理和数学的统一理解不断迈进。虽然只有专家才能读懂这本字典中的条目，但这两门学科的核心概念间存在一一对应关系这一事实本身就对所有物理学家和数学家颇有助益。数学家可以运用他们的数学直觉研究规范理论，而物理学家也可以运用他们的物理直觉研究拓扑学。

这个发现是纯数学家和理论物理学家的研究领域之间的联系日益紧密的又一大例证。杨振宁本来是位完完全全的物理学家，一直坚持明确区分数学和物理学：数学处理的是柏拉图世界中的抽象概念，而物理学研究的则是对现实世界的定量测量结果，如仪表盘、计时器等实验仪器上的读数。不过，随着杨振宁对数学和理论物理学关系的认识逐渐加深，他对数学的兴趣也越来越大。杨振宁知道，第一个建立数学场论的詹姆斯·克拉克·麦克斯韦早在一个世纪前就已经预见，要想对场论有更深刻的认识，除了对运动的描述之外，还必须运用“几何学思想”。杨振宁还知道，狄拉克在1931年建立磁单极子理论的时候就率先在量子力学中运用了这种对物理学家来说全新的几何学思想。然而，吉姆·西蒙斯的一番评论让杨振宁大吃一惊：狄拉克在提出这些想法的时候，其实也发现了拓扑学的一大关键定理。实际上，狄拉克使用的这个基础拓扑学定理，在整整20年后，才被国际顶尖数学家陈省身正式发现。陈省身之前在中国给学生时代的杨振宁上过课，后来移民去了美国，在加州大学伯克利分校安顿了下来，并且成了一位数学“大人物”（阿蒂亚对他的评价）。虽然陈省身的学术论文不算简单易懂，但许多数学家都很欣赏他的博学、权威与幽默。

陈省身

自20世纪50年代开始，杨振宁和陈省身就会不定期地碰面，但他们从来没有深入交流。1975年，杨振宁觉得是时候纠正错误了，就驱车前往位于旧金山湾东岸的陈省身家中，畅聊了几个小时。谈话开始后没多久，话题就转向了数学与物理学之间的关系。杨振宁评论说，他惊奇地发现，有关亚原子力的规范理论竟然可以用陈省身等人“凭空”想象出来的数学语言书写出来。然而，陈省身断然否定了这种说法。“不，不是这样。这些概念并不是凭空想象出来的，”他抗议道，“它们是本就存在于自然世界的真实之物。”

话毕，杨振宁呆若木鸡。对于他这样的物理学家来说，现实这两个字在本质上代表着物质世界——经验是真理的唯一来源。然而，陈省身现在却宣称，抽象的数学也同样真实。

在阿蒂亚给贾基夫办公室的麻省理工学院物理学家讲完课后不久，贾基夫就问他：“你觉得数学和物理之间的这段新恋情会是一晌贪欢，还是长长久久？” 阿蒂亚当时的回答模棱两可。不过，等到他于1977年年初回到位于牛津数学研究所的家中时，阿蒂亚已经满怀乐观，并且决心开始钻研规范理论涉及的数学。几个月后，爱德华·威滕开始了他对牛津数学研究所的长期访问，还有其他理论物理学家也加入了同数学家的对话。数学家和理论物理学家终于挖通了这条隧道。

当时，阿蒂亚刚接受了现代引力理论先驱、扭量理论提出者罗杰·彭罗斯的邀请，成了牛津大学数学系的一员。大约就在此时，阿蒂亚的密友和合作者伊萨多·辛格也在牛津大学数学系开始了学术休假，并从纽约州立大学石溪分校带来了杨振宁将规范理论和拓扑学联系起来的新发现。辛格就这个问题在牛津大学做了一系列讲座，吸引了许多听众。讲座的主题从“吴–杨字典”开始，阿蒂亚后来称这场讲座为“一个重要时刻”。此后的数周，整个数学系都在讨论瞬子，也就是现代规范理论预言的亚核事件。阿蒂亚和其他几位数学家拿出了几何学方面的看家本领，甚至还运用了一些新方法，只为研究物理学家赫拉德·特霍夫特和萨沙·波利亚科夫提出的理论。很快，他们就明白了瞬子有不同种类，并且可以用拓扑工具分类，而阿蒂亚–辛格定理则在其中发挥了至关重要的作用。

阿蒂亚把研究重心转移到规范理论上后不久，就感受到了文化改变带来的冲击。在此前的几十年中，阿蒂亚已逐渐习惯了数学界庄重严谨、深思熟虑的生活节奏，但物理学研究令人窒息的节奏令他第一次感受到了紧张和焦虑。在物理学研究中，一篇以不成熟想法为主题的亮眼文章也会激起一连几个月的热烈讨论，并带来许多看似前途光明但最终不了了之的推论。阿蒂亚在和合作者完成了第一个项目后不久，就发现其他地方的理论物理学家也得出了几乎一模一样的结论，只不过后者运用的数学手段比较少。在物理研究圈内，这样的事情多如牛毛。

1977年春天，纯数学和理论物理学之间的这段新恋情已经全面开花。在当年于华盛顿特区举办的美国物理学会的一次会议上，罗曼·贾基夫以规范理论涉及的数学内容为主题做了一个报告，并在结尾处邀请伊萨多·辛格上台，为大家介绍数学家的观点。由于时间有限，辛格决定不再多谈具体的技术细节，而是念了自己最近作的一首诗：今岁今日物理圣哲

笔耕不辍

时下

规范理论如日中天。

短视的数学家

亦步亦趋

虽头脑聪慧

但定理

已刻上他人的痕迹

然规范理论生有缺陷

上帝踟蹰着

给他的物理学定律

拉上了帷幕

这或许注定是一场失败之旅。

这首诗反映了部分数学家的担忧：规范理论或许不是一个完全可靠的思想来源。不过，就当时而言，这个理论对数学家有百利而无一害。可以想见，阿蒂亚很快就成了这个新合作领域的“魔笛手”，鼓励所有来访者都试一试，加入这个数学和物理学交叉领域的创新者行列。第二年，也就是1978年，阿蒂亚在哈佛大学做了一系列讲座，重点介绍他和合作者发现的发展磁单极子理论的新方法。“举办讲座的屋子里挤满了人。”戴维·莫里森（David Morrison）回忆说，他当时还只是个纯数学领域的研究生，对规范理论没有任何兴趣。不过，他觉得“不应该放过聆听阿蒂亚讲座的机会”。听众中，数学家和物理学家大概各占一半，莫里森回忆道：“我之前从未听说过有什么场合能把这么多数学家和物理学家聚到一起。”而主讲人阿蒂亚也没有令到场的观众失望：“他的讲座引人入胜，让在场的许多物理学家确信，这是一个非常值得进入的学术领域。”

不过，也有许多理论物理学家心存疑问。例如，爱德华·威滕后来就说，他不相信数学家能研究清楚他感兴趣的物理学问题。然而，在数学家取得了一系列令人眼花缭乱的有关空间性质的理论成就（阿蒂亚说，“这些成就震撼了整个数学世界”）后，理论物理学界也改变了看法。发现这些理论的正是师从阿蒂亚的一名腼腆的二年级研究生——西蒙·唐纳森（Simon Donaldson）。他当时正默默研究规范理论除了能给物理学提供灵感以外，是否也能成为数学的思想源泉。1982年，他证明了这个问题的答案是肯定的，并且发掘了大量能对部分数学分支产生革命性影响的新思想。“我之前就知道唐纳森聪慧过人，”阿蒂亚对我说，“但他的成就还是令我难以置信。”

连唐纳森本人都被自己的成功吓了一跳，看着令人惊喜的发现不断涌现，他几乎无法相信自己的眼睛。“我猜想，这样的研究可谓千载难逢。”作为数学家，唐纳森运用规范理论方程组的方式与大多数物理学家预想的大相径庭。他解这个方程组的目的并不是研究场论，而是研究场在四维空间中的性质。唐纳森对我说，他一开始并没有想这么做，只是在研究的过程中才突然冒出了这个想法：“在和同事讨论之后，我才意识到这个方法原来如此有用。” 经过大约一年艰辛但令人振奋的工作，唐纳森终于把自己的预感变成了牢不可破的定理。

唐纳森发现，描述瞬子的规范理论方程组解表明，四维时空拥有一些特殊性质，也就是我们现在熟知的不变性。这些性质相当有用，因为它们能以数学家此前从没见过（乃至从未想过）的方式区分各类四维空间。这个技巧还让唐纳森发现了一种只在四维存在的新空间。按照阿蒂亚的说法，唐纳森提交他的第一批成果时，这些想法“对几何学家和拓扑学家来说实在太过新鲜和陌生，他们只能以带着钦佩而困惑的表情呆呆地望着唐纳森”。唐纳森在描述物理学家认为发生在原子核内部深处的瞬子事件的过程中，也打开了柏拉图式数学思想世界的新视野，并且对数学产生了巨大影响，虽然物理学家们很少注意到这点。

杨–米尔斯理论起初是作为麦克斯韦电磁理论的一般化理论而发展起来的，而唐纳森运用这个理论成功地研究了空间的本质。电磁方程组的数学形式看上去与时空本身具有四维这个观测事实有关。唐纳森认为，这种联系表明“其中存在一些我们尚不了解但更为基础的性质”。

几十年前，狄拉克就已经预见到了这类概念上的联系。他一直督促数学家要特别关注四维空间，因为我们所处的时空就是四维的：从某种意义上说，这是大自然在提示数学家，这类空间很重要。狄拉克还在1933年题为“数学与物理学的关系”的斯科特讲座中提到了这点：“未来的发展很有可能表明……四维空间要比其他任何空间都重要得多。”不过，狄拉克第一次提出这个想法是在亨利·贝克的一次茶话会上，当时他还只是个研究生。我在采访唐纳森时——距他开始在这个领域耕耘的那天已经过去了35年——递给他一本记载狄拉克当年谈话内容的影印本。唐纳森表示自己此前从不知道此事，摇着头评论说：“不可思议。”

数学与物理学的关系在20世纪70年代发生的转变令几乎所有专家都感到惊讶，包括弗里曼·戴森。前文提到，他在1972年的那次讲座中表达了对数学与物理的离异感到遗憾，也为这两门学科因此而错过的互相促进的机遇感到可惜。7年后，他的态度转变了。在1979年7月普林斯顿高等研究院为庆祝爱因斯坦100周年诞辰而举办的一次会议上，戴森试着猜想了数学与物理学的未来。这次会议云集了许多数学及物理学大师，如迈克尔·阿蒂亚、陈省身、史蒂芬·霍金、罗杰·彭罗斯、史蒂文·温伯格和杨振宁。他们一同出现在了会议的闭幕式上，而研究院院长则宣读了当时美国总统吉米·卡特的贺信。

弗里曼·戴森

与会者对宣读总统贺信之前的环节记忆犹新，这是一场对物理学未来的热烈讨论。发言者之一就是持乐观态度的戴森，他预言“（高等）数学与物理学之间的关联会日益紧密且坚实”。他还更进一步，再次提出了一个大胆的预言：“我预测，在未来25年内，我们就能看到物理学统一理论——广义相对论、群论（有关对称性）以及场论以纯数学为纽带紧密结合在一起。”

戴森还小心翼翼地给这个大胆预言加上了一个附加条件。“用过去的经验推断未来永远不是明智之举”，他补充说，提这点只是想“为后续讨论做铺垫”。戴森的这次预测是准确的——不到5年，物理学家就找到了与他描述的新物理学框架很相似的理论。我们马上就会看到，这些新理论为理论物理学家和纯数学家提供了更多机会，让他们互相促进、共同茁壮成长。

作者简介：格雷厄姆·法梅洛，英国理论物理学家、知名传记作家和科普作家，伦敦自然博物馆资深研究员，剑桥大学丘吉尔学院院士，美国东北大学兼职物理教授。作品《量子怪杰：保罗·狄拉克传》获2009年科斯塔传记奖、《洛杉矶时报》科技图书奖、《理论物理》年度图书奖，以及《自然》年度图书奖。

本文经授权转载自微信公众号“和乐数学”。本文选自《物理世界的数学奇迹》第7章“全新的数学之路”。