从毕达哥拉斯到开普勒的多面体之旅_风闻

撰文：Christine Dezarnaud Dandine

翻译：吴凡

来源 | 求诸堂

早在古典时代就已为人所知的多面体，不仅在数学中，而且在哲学中扮演了重要角色，并且在不同的科学领域之间架起了桥梁。约公元前6世纪哲学在希腊诞生了。哲学家们革新了思想史：对于林林总总的解释世界与人类的起源与演变的神谱和神话，他们代之以理论构造，这些理论排除了神力，建基于与观测事实相容的一些基本原则。从那以后，“人是万物的尺度（法文：l’homme est la mesure de toutes choses）”（普罗泰戈拉）。回忆一下词源，“尺度”的法语是“mesure”，和谐与节律的观念里就包含了这个词，这些观念都从属于“对称”概念，对称的法语是“symétrie”，由希腊语词素syn与metron构成，意为具有同样的尺度，或者根据同样的尺度。（视频Henry Segerman 讲解柏拉图立体与阿基米德立体，请前往“返朴”观看）

毕达哥拉斯及其正多面体

球形、圆形及其性质一直以来就被与宇宙的某种表现联系起来。先驱者毕达哥拉斯（公元前6世纪）教导说，关于大自然的知识建基于从某些整数的性质导出的和谐。他的门徒将5种完美立体的发现归功于他，完美立体的面是全等的多边形：等边三角形，不等腰或等腰直角三角形与正五边形。注意，除了正五边形之外，这些图形都很容易尺规作图，此后尺规可作图是统治着《几何原本》（公元前3世纪）中阐述的欧氏几何的隐含条件（原注2：第八卷）。毕达哥拉斯的同代几何学家已经证明，借助于三种正多边形（正三角形、正方形、正五边形）就可以构造出五种凸正多面体（原注3：每个面都是全等的正多边形，每两个相邻的面之间的二面角都相等）：正四面体、立方体、正八面体、正十二面体与正二十面体。

柏拉图的前苏格拉底学术环境

在物理学史上有两大派针锋相对的学说：

1． 元素论：恩培多克勒（公元前5世纪）从四大元素（水、气、火、土）出发来描述我们所处的连续结构的月下世界中的各种变化，四大元素受到两种彼此对抗的力的作用而改变其组合的比例：爱力使元素结合，恨力使元素分离。亚里士多德继承了四元素说，为其增加了两对性质：热与冷，干与湿。经他完善后的元素论统治着物理学直到17世纪。

2． 原子论：德谟克利特与留基伯（约公元前460-370）教导说，物质是由原子组成的，原子是细小不可分割的粒子，它们在虚空中游动，在萍水相逢中创造昙花一现的组合。但如此一来怎么解释某些形式，某些存在的恒久呢？

柏拉图多面体

柏拉图对多面体的历史有核心贡献，以至于5种正多面体被称为“柏拉图体”或者“柏拉图多面体”。对他而言，几何学不仅仅是关于图形的研究，更是通往理念世界的不二法门，对称的完美正反映出理念世界的完美。

在《第迈欧篇》中，柏拉图描绘了将世界几何化的最初尝试之一。根据他的理论，世界（译注：此处指柏拉图所谓的现实世界，或称“可感世界”。理念世界先于现实世界而存在。）是由一个造物主（démiurge）在理念完美性的启发下建造出来的。这个世界由完美的月上世界或称“不变世界”与我们所处的月下世界组成，月上世界围绕着月下世界作永恒不变的旋转，而看似不规则的行星运动则发生在我们的月下世界。这个充满变化的月下世界由恩培多克勒的四大元素组成的物质所形成。柏拉图了不起的创造性在于用多面体的形状来刻画这四大元素。要注意，这既不是观察，甚至也不是演绎，而是公理方法。这些“指配”是基于可移动性（这一点仍然缺乏说服力）的考虑来证明的：

“我们将立方体指配给土元素。因为土是四种元素中最难自发移动的，[…] 类似地，把剩余四种图形中最难移动的（正二十面体）指配给水，最易移动的（正四面体）指配给火，中间性质的图形（正八面体）指配给气。”

在这些元素中，气、水与火都可以通过增删组成这些元素的等边三角形来彼此转化。对土元素来说这种转化是不可能的，因为土元素只能还原到等腰直角三角形。在构成了正十二面体的正五边形内不能找到以上两种三角形。因此正十二面体不能还原到四大元素，就从这个分类中排除了。柏拉图给它预留了一个相当不同的角色：代表作为一个整体的宇宙。

亚里士多德：弑父者

当上吕刻昂（译注：即亚里士多德创立的雅典学园）的首脑之后亚里士多德就与他的师傅柏拉图分道扬镳了。作为原子论者坚决彻底的反对派，他也反驳元素的多面体理论。首先他向恩培多克勒的四大元素赋予了两对性质：热与冷，干与湿。从而四大元素就可以通过增减这四条性质而互相转化，因此正多面体就不再被看作特殊图形。再者，用正方形与正三角形都可以铺满平面，而用正五边形就不可能做到，总会留出空隙。空隙就是虚空！自然界厌恶虚空，亚里士多德将虚空视同不存在。因为不可能使用某些多面体，尤其是正十二面体与正二十面体这些具有五阶对称的多面体来紧密地填充空间，所以柏拉图的理论只是美学性质的假设，只是形而上学的思辨，不满足物理学的科学方法的标准。在19世纪与20世纪，人们将会懂得这些多面体可以铺满非欧空间。

亚里士多德不容置疑地责难柏拉图在多面体元素的问题上采取的公理式论证，并且用“虚空不存在”来驳斥，而这个不存在性本身说到底也是公理式的。他这么做的第一个后果就是导致了对原子论长达两千余年的非难。第二个后果要严重得多，源于中世纪思想对亚里士多德论断的全盘采纳；经年累月地教授这些论断，巩固了元素与性质的理论（原注6：此处不讨论在希腊古典时期广泛采用的地心模型的沉重后果）。

亚里士多德驳倒了正多面体的理想化角色，为数学研究开辟出一片广阔天地。其后继就是欧几里得与阿基米德（公元前3世纪）的天才工作。阿基米德发现了一类引人瞩目的新多面体：这些半正多面体的面是正多边形，但可以是不同的形状，例如可以是一些共边的正三角形与正方形。这些多面体共有13个，可以通过对5种柏拉图多面体以不同方式依次截断而得到。

图1：13种半正阿基米德多面体

多面体的又一个黄金时代：文艺复兴

伟大的美第奇家族的初代，老科西莫 (1389-1464) 与他的后人们一样对科学研究很感兴趣。他活跃地参与了由马尔西里奥费奇诺 (1433-1499) 主持的希腊原典的首批翻译。在老科西莫的庇护下，费奇诺在Careggi创办了柏拉图学园，出版了《柏拉图对话录》的完整拉丁文译本。这个译本在美第奇家族的圈子里取得了绝大成功，并通过他们的众多人脉网迅速传播开来。

从艺术家们的，尤其是乔托 (1266-1337) 与布鲁内莱斯基 (1377-1446) 的作品中，从莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂 (1404-1472) 发表在他的名著《De Pictura》（《论绘画》，1435）里的理论成果中，所有画家都熟知了透视法的研究与运用。皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡 (1412-1492) 出版了一册透视法专著（《De prospectiva pingendi》，即《论绘画中的透视》），并将书中的法则应用于他自己的绘画与多面体图形。

卢卡·帕乔利的著作《De Divina proportione》（《论神圣的比例》）试图将全部基督教教义与几何知识及黄金分割的性质糅合起来。列奥纳多·达·芬奇 (1452-1519) 用主要的正与半正多面体的出色素描细致入微地给这部论著配上了插图。

开普勒的多面体研究

在《Harmonices Mundi》（原注8：《世界的和谐》，复刻本见 www.imgbase-scd-ulp.u-strasbg.fr ）中开普勒着手研究了多面体。这本书一开头就细致描述了5种正多面体与13种凸的半正的阿基米德立体的几何性质及其严格的构造方法。他最有原创性的贡献还是在于描述了两个非凸的星形正多面体，此后称为“开普勒多面体”。

图2：开普勒的星形多面体

开普勒对天体物理的基础性贡献

开普勒在《Mysterium Cosmographicum》（《宇宙的神秘》）中阐述了一个太阳系模型，其中行星的不同轨道内切于5个与轨道大小相匹配的完美立体，那时他认为自己已经作出了史无前例的重大发现，可以将科学与哲学统一在一个宏伟的综合理论中。

图3：《宇宙的神秘》中层层嵌套的柏拉图多面体

这册书中蕴含着开普勒三大定律的萌芽，这三大定律描述了行星围绕太阳运动的主要特征，引领牛顿发现了他的引力定律。支撑这个几何构造的论证是杂糅的，既是柏拉图主义的，又是基督教的：“神只能创造一个完美的世界，且[…]，因为只有5种完美的立体，所以它们一定是被设计来插进六条行星轨道之间的，它们完美贴合这些轨道。”

事实上，把轨道强行塞进立体模型的做法一经审视就会显得十分不自然。在发现海王星与天王星之后，开普勒就被迫放弃了他美丽的建构（译注：原文如此。不知作者为何写出这句关公战秦琼来。）。

本文译自亨利庞加莱研究所编著的Objets mathématiques一书中的篇目De Pythagore à Kepler, un voyage polyédrique ，作者Christine Dezarnaud Dandine 是物理学博士与哲学博士，在索邦大学教授理论化学与哲学。中文版将由哈尔滨工业大学出版社出版。

本文经授权转载自微信公众号“求诸堂”。