温度与神秘的虚时间 | 众妙之门_风闻

在一般认知里，温度和时间是两个截然不同的物理量，现在物理学家可以通过一种数学上的骚操作把它们联系起来，甚至可以“互换”。这个操作就是威克转动（Wick Rotation）——把时间变为虚时间。虚时间的引入，能使量子力学和统计物理中的问题相互转化并求解。尽管物理学家尚不十分清楚这一操作背后的物理本质是什么，但它一直是处理各种物理问题非常有效的工具，现在就来看看威克转动的神奇之处吧！

撰文 | 董唯元

物理学的魔力之一，就是能够将原本看似不相关的事物联系起来，从而揭示出自然规律更深刻的本质。在牛顿之前，恐怕没有人会相信，苹果落地与日月星辰的运行，背后由统一的规律在支配。今天我们要聊的时间与温度，也是两个貌似无关的物理对象，但是通过一种数学操作，它们之间的神秘联系就能显现出来！

虽然现在物理学家还无法完全理解这种联系的本质，但作为一种跨界处理问题的工具，它已经显示出了惊人的威力。像黑洞辐射温度这类原本看似无法下手的计算，现在竟然可以非常轻松地完成，其难度甚至不会超过高考数学压轴题。正是这种神奇的魔力，使许多物理学家都逐渐开始相信，这种数学操作的背后，一定还隐藏着尚未充分挖掘的深层物理奥妙。

用虚数计量时间

在相对论时空中，两个事件之间的距离ds是个不随参照系改变而变化的量，用自然单位制c=1简化后，事件距离ds满足的关系就是

ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2

这套分配给坐标 (t, x, y, z) 的系数 (-1, 1, 1, 1)，称为闵可夫斯基度规，对每一位学习相对论的同学来说都是再熟悉不过的日常。不过既然时间和空间已经整合成了一体的时空，人们便总是希望能对称地看待时空中的四个坐标，闵氏度规中的-1就显得有些破坏对称美。

当然，将闵氏度规 (-1, 1, 1, 1) 更换成欧几里得度规 (1, 1, 1, 1) 的方法，肉眼可见的简单，只要将时间变成虚数

就可以得到

这个由实数时间向虚数时间的变动，就称为威克转动（Wick Rotation）。

威克转动不仅可以让线元ds的表达式变对称，如果强迫症上身，其实可以将所有波动方程都由

的形式，写成

这种更对称的样子。

既然威克转动带来的形式外观如此优雅，为什么在相对论的入门教科书中却极少使用呢？这主要是因为，数学形式上的和谐对称未必能帮助初学者理解掌握其物理内涵。比如我们经常说：两事件之间 ds^2＜0 表示他们在同一个光锥内，可以存在因果关联；而 ds^2＞0 时就铁定不存在因果关联。可是威克转动后 ds^2＜0 的情况会消失，对初学者理解世界线的“类时”和“类空”反倒添了麻烦。不过在引力理论中，威克转动还是会显现威力，相关内容会在后文介绍。

量子现象在虚时间中的经典图像

要说引入虚时间后能帮助直观理解的例子，量子隧穿现象就很有代表性。这种早已人所共知的现象，是量子力学课堂上的常见习题，但用经典牛顿力学似乎无法求解。按照牛顿定律

粒子所携带的动能

只有E＞V的地方，才能解得出粒子的位置x，而在E＜V的地方则根本不存在x的实数解。这是我们在中学物理课上就已经熟悉的结论。

当我们将时间换成虚数，

，会看到牛顿定律的方程变成了

动能E变成了

原来，在虚时间的世界里，势能和动能都被加上了一个负号，于是粒子的位置x就只能出现在E＜V的地方。

这个在虚时间世界里的解，刚好可以完美描述量子隧穿行为。处在虚时间过程中的赝粒子被称为瞬子，而量子隧穿就可以看做是瞬子在“势阱”里从一端运动到了另外一端，其运动过程和轨迹完全遵守牛顿定律，只是将时间变成了虚时间。没想到吧，在虚时间的帮助下，我们居然可以用牛顿力学的经典轨道来描述量子行为。

之所以能将飘忽的量子效应拉回到经典图像之中，是因为量子理论中很多奇特效应，反映在数学形式上就是以复数的形式体现。如果虚时间出现的位置合适，刚好就可以把这些复数变量重新变成实数。

不过更为有趣的是，虚时间的引入居然可以使量子力学与热力学产生许多微妙的联系。

联结两个算符

量子力学中有个时间演化算符，描述粒子随时间推移由一个量子态演化到另一个量子态的过程。热力学里有个密度算符，表述纯态在混合态里的统计占比。对比演化算符

和密度算符

不难看出二者的相似，只要勇敢地做出

替换，就可以相互转换。

可是这种纯数学上的“换元”操作，背后有物理意义吗？联想到密度算符中的β其实就是玻尔兹曼常数k与绝对温度T乘积的倒数，也被称为逆温度，而温度又与熵S对能量E导数有关，所以这种转换中暗示了虚时间与熵变之间的联系吗？

应该说这种脑洞有些过于写意，至少在没有足够具体的图像来支撑之前，不能随便做出这种推测。不过稍稍退回半步，关于虚时间与温度之间的联系，倒是确实已经有非常“物理”的内容，并且已经在理论研究中发挥着日益重要的作用。

最直观的解读就是，虚数单位i配合着实时间t一起出现在指数位置，这说明实时间其实是相位自由度，负责描述概率幅变化。在热力学的平衡态系综里，恰恰缺少了相位自由度，但同时多了另一个描述概率分布变化的参数，那就是温度。从这一点来看，直接把逆温度β与虚时间归为同类，至少当做哲学作业是可以交差了。

当然这种“因为缺骰子所以改掷硬币”的解读还是过于粗浅且模糊，如果现在就声称二者在物理上有什么内在一致性，恐怕很多人都还会满腹狐疑。相位有周期性重复，而实指数分布则不存在周期。况且时间在我们的认知里一直是个维度，很难相信温度也能充当维度的角色。两者的体貌特征实在差距太大，硬说是一对双胞胎，实在难以令人信服。

在进一步了解它们的物理意义之前，我们不妨先看看虚时间到底在哪些地方发挥了怎样的作用。

路径积分中的虚时间

费曼的路径积分理论，物理图像十分精彩，但具体数学操作却很容易吓倒一些初学者。引入虚时间的威克转动，就是经常用来简化路径积分的一大利器。

在讨论粒子运动的语境中，路径积分的意思是：粒子从A点走到B点的过程中，并不是留下一串固定的脚印，而是离开A点后立即化做无数的分身，这些分身同时经过了所有可能的路径，最后在B点又汇聚在一起。其中每一条路径上的分身，都对最终达到B点的概率做出自己的一份贡献。具体的贡献内容，就是状如e^（i/Sћ）这样一个相位，指数中的S是分身在路径上的作用量，也就是拉氏量L的积分。

计算一条路径的作用量和相位贡献貌似不难实现，但是如何把无数条路径的贡献累加在一起，则要颇费一番功夫。图中的“

”看起来谜之轻巧，但它其实是路径积分专属特殊标识，代表所有分身合力完成的无穷多重积分。