美丽的肥皂泡，背后的数学也很有意思_风闻

几乎每个人都吹过肥皂泡，甚至成年人也会很有兴趣地玩。2012 年9 月19 日，在温哥华，加拿大籍华裔泡泡艺术家杨范打破由他本人保持的吉尼斯世界纪录，将181 名参与者容纳在一个巨型肥皂泡中。

图1. 温哥华的容纳181 人的肥皂泡

2013 年5 月2 日，在莫斯科，一年一度的肥皂泡节在全俄会展中心举行，庆祝春天的到来。

图2. 参加莫斯科肥皂泡节的民众

2013 年8月23 日，在香港举行了“健力士世界纪录大开眼界”活动，特邀英国肥皂泡大师Samsam表演了最多肥皂泡弹跳、最长肥皂泡串、最大室内肥皂泡以及大泡套小泡等梦幻优美的技艺。

图3. 英国肥皂泡大师山姆在表演

除了好玩，肥皂泡也得到了高雅艺术的青睐。荷兰历史上最伟大的画家伦勃朗（Rembrandt van Rijn）和18 世纪的法国画家夏尔丹（Jean-Baptiste-Siméon Chardin）分别创作了世界名画《持肥皂泡的孩子》和《吹肥皂泡的少年》。

图4. 伦勃朗的油画《持肥皂泡的孩子》

事实上，肥皂泡还有重要的科学背景。2013 年，美国科学新闻网站www.Livescience.com 刊登出了由世界各国科学家们鼎力推荐的十大影响世界文明进程的“魅力方程”，极小曲面方程便在其中。“这个方程在某种程度上解释了人们吹出的那些肥皂泡的秘密。”美国数学家、首届美国国家杰出教学奖获得者Frank Morgan 在推荐时表示，这个非线性方程描述了美丽肥皂泡背后的数学。肥皂泡蕴含的极小曲面问题与偏微分方程、微分几何、复变函数、变分法、拓扑学等多个方向都有着十分重要的联系，向人们展示了曲面的美感和几何的魅力。

20 世纪50 年代，新设计学派提出的“极小曲面”理念开创了现代张拉膜结构设计的先河。基于这种理论，对于特定边界条件得到的膜结构表面积最小，从而耗能最少。这类膜建筑的主要结构特点是预应力在整个结构中均匀分布。例如，东京街头景观——极小曲面亭、纽约科学馆中的极小曲面华盖、德国boxel实验馆中有2000 多个啤酒箱组成的极小曲面和厦门园博园中的极小曲面建筑。

图6. 极小曲面方程

图7. 东京街头景观——极小曲面亭

图8. 纽约科学馆中的极小曲面华盖

图9. 德国boxel 实验馆中的“啤酒箱”极小曲面

图10. 厦门园博园中的极小曲面建筑

1.极小曲面及其方程

图11. 欧拉的《寻求具有极大或极小性质的曲线》

1744 年，有史以来最伟大的数学家之一欧拉出版了《寻求具有极大或极小性质的曲线》（Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes）（ 图11）， 这标志着变分法作为一个新的数学分支的诞生。在该书中，欧拉提出了这样一个问题： 求出在点(x0, y0) 和点(x1, y1) 之间的平面曲线y ＝ f(x)，使得它在绕x 轴旋转时所产生的曲面面积最小。欧拉证明了它必须是一段悬链线

其中c 是一个正常数。因其函数图像与悬挂在两点的绳子在均匀引力作用下自然下垂之形相似而称之为悬链线，悬链线生成的旋转面叫做悬链面。

1760 年，法国数学家拉格朗日以欧拉的思路和结果为依据，得到了更完善的结果。他的论文《关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法》（Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima etles minima des formules intégrales indéfinies）是用分析方法建立变分法的代表作。他发表前写信给欧拉时，称此文中的方法为“变分方法”（the method of variation）。欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”（the calculus of variation）。

在三维空间中考虑曲面M : z ＝ u(x, y)，(x, y) ∈ D，其中D 是平面上的一个光滑区域。拉格朗日利用他创立的变分法原理证明了： 所有定义在D 上且在边界∂D上取相同值的光滑函数图像中，若曲面M 的面积最小，则u 满足极小曲面方程

我们下面对(1) 给出一个简单的证明。设Mt : z ＝ u(x, y) ＋ tv(x, y), (x, y) ∈ D,其中t ∈ ( － 1,1)，v 在边界∂D 上取值为0，则Mt 的面积

若A(M0) 的值最小，即A(Mt) ≥ A(M0)，则A(Mt) 在t ＝ 0 处取极小值A(M0)，从而

在(2) 式中对t 求导，再应用散度定理（即高维分部积分公式），注意到v 在边界∂D 上取值为0，并根据v 的任意性，可以得到

它也经常被求导展开，去掉分母，就可以写成方程(1)。

很显然，线性函数u(x, y) ＝ ax ＋ by ＋ c 是方程(1) 的一个解，也就是说，平面是一个极小曲面。当给函数u(x, y) 附加一些条件时，我们能够得到极小曲面方程的两个非线性函数的特解。

如果要求M 是一个旋转面，那么函数u(x, y) 可以表示成