续：“疫情与指数函数”_风闻

给前文补充一张图，S型曲线跟J型曲线的形状就是这样的

今天花了点时间续了一下昨天发的文章，加上 @世界统一促进会秘书长 建议的预测。

先给结论：

1.S曲线仅对短期定量预测有意义，长期定量预测极其不可靠。

2.@世界统一促进会秘书长给的模型本质上和J曲线是一样的。

首先是回复 @世界统一促进会秘书长 下面是他的评论

他的文章是什么模型呢？

我以自己的话重新描述一下，统一一下用语和符号。

设x(t)为t时刻的感染人数，那么t+T时刻的感染人数为x(t+T)，我们假设有（没有给出任何理论依据，就直接认为他是这样）

R是一个参数。如果有注意到我之前的文章，我是有给出建模过程的，全部参数都有物理意义，但这里的R是没有物理意义的。@秘书长 是如何处理的呢?他用了2月5日开始共41天的数据拟合这个方程，得到这个R。而且在他的拟合当中，时间间隔T不限于1日，详细可以看看他的文章。

我不是科班出身，不太懂统计上怎么处理这个的。我个人的直觉是，求参数R更好的处理方法是先把数据x(t)与R^T进行对数运算，再进行线性拟合，误差会小很多。

那么他的模型有没有物理依据呢？首先改写一下他的模型

两边同时除以T，然后给T加一个趋于0的极限

等价无穷小有这样一条

所以

左边写成导数形式

我的模型里面有

你会发现跟他的模型是一样的，他整定lnR，我整定k。说白了，他的模型也是纯正的指数曲线，而且需要理解他的模型，无非也就是感染人数的增长率与当前感染人数成正比，这一点在我的前文中也有讲述。

下面对比一下我们两人的模型，@秘书长 的模型后文称为“秘书长模型”，我的模型依照前文，后文称为“J型曲线”。

以他的方法进行参数整定，R = 1.19021，以我上述对数处理的方法，整定的结果是C = 436.99，k = 0.169。我的模型数据全部采用 @秘书长 文章里的数据，数据的真实性与可靠性参照他的数据。从3月27日为第1天，下面得到了后续39天的预测感染数据

这图不太好看细节，但至少形状上是基本重合的。点线的数据是J型曲线与秘书长模型的差值：

1.到今年5月4日，秘书长模型预测海外将有3.4亿人感染，J型曲线预测海外将有3.25亿人感染。

2.到今年4月26日至4月27日时，我们两人的预测模型数量相等，为海外感染1亿人。

3.秘书长模型感染人数的增长速度更快，他的模型更激进一点，我的模型更保守一点。

4.相比于秘书长模型，J型曲线误差在+15%，-5%以内。

如果使用S型曲线能够预测出什么结果？首先给出前文的S型曲线方程（Logistic曲线）

为了方便整定参数，改写一下方程

再改一下

把K作为一个参数，对上述方程进行最小二乘拟合，得到a与b对K的表达式。得到的表达式再进行对x(t)的最小二乘拟合，就能得到3个参数的值。另外这个很可能不是学院派的做法…总而言之，得到K = 1385300，b = -0.1743，a = 3368.4。下面把S曲线跟J曲线的预测画在一起

很明显，两条曲线的预测值一开始就有区别，J曲线是52.8万人感染，S曲线是42.9万人感染，秘书长模型是45.3万人感染，3月27日实际上有多少人感染呢？42.7万人感染。看3月28日的数据，J曲线预测为62.6万人感染，S曲线预测为48.2万人感染，秘书长模型是53.9万人感染，实际上有多少人感染呢?48.9万人感染。

进一步看S曲线后续的预测：

1.4月1日海外感染将达到拐点。

2.海外最终会有138万5千人感染，就是那个参数K。

3.4月2日与4月3日之间，J曲线的预测值为S曲线的2倍，4月6日，J曲线预测将达到S曲线的3倍。

现在这个曲线的问题是，第1点和第2点实在有点违反常识。像美国日本这样的国家，曲线才刚开始上升，没有理由在4月1日到达拐点的，而且看现在这个形势，不大可能最终停留在138万人感染。因此我尝试制作了使用不同时间长度的数据进行预测的图表，下图中横轴表示采用前n天进行预测的最终感染人数值。

这张图以22个数据为分界可以分为2个区域，在两个区域内，海外总感染人数的预测值随数据量增加而增加，但22数据预测值达到峰值后迅速下降，随即又继续增加。这说明以现有的数据，采用S曲线进行总感染人数的推断极其不可靠，其原因是现阶段仍然在疫情的前期，曲线尚未成型，初值的少量偏移都会带来终值的剧烈变化。同时，世界上不同地区的爆发时间不完全一致（加上部分国家所谓的“轻症不测”给曲线的形状带来一定的影响），导致总体的R0有一些阶跃式的变化。

最后给出 @世界统一促进会秘书长 想要的S曲线预测数据

3月30日       61万3千人

3月31日       67万8千人

4月1日        74万3千人

4月2日        80万9千人

4月3日        87万4千人

4月4日        93万7千人

4月5日        99万8千人

4月6日        105万5千人

下面是@guanchafen 的说法

只是玩一玩的话，我觉得你可以试一试下面这个模型

玩法是随便找个国家，直观感觉他最终会感染多少人，带入K里面。估计一下这个国家的抗疫水平，比较厉害的选一个大一点的b（负数的大一点是绝对值的小一点），比较佛系的选一个小一点的b。最后随便选一下a画出曲线对照一下疫情发展情况。

比如中国大陆的

不过要注意到2月12日湖北新增确诊超15000这一点，这个对曲线的形状肯定是毁灭性的打击，这个模型解决不了这种现象。另外更要注意的是，这个模型一不考虑外部输入，二不考虑瞒报现象（当然也不考虑因检测能力不足带来的疑似病例积压）。顺便一提，@mandman文章里经常能见到的一个表述

就是他的曲线跟S型或J型不符，瞒报就是原因之一。

如果你想玩的更爽一点（控制措施强度，筛检比例，收治入院比例），我建议你用下面这个模型

t：今天日期；

x(t+1)：明天的确诊人数；

N：地区总人口

k(t)：表征措施效果的系数，包括病毒变异传染性更强（k更高），封城（k更低）等；

m(t)：今天的治愈率；

n(t)：人群中获得永久免疫的人的概率。这个参数可以给你看看群体免疫的效果，另外也可以试试抗体只能存在3个月的效果。

x(t-T)：T日之前的感染人数，T是治愈需要的平均时间。

M(t)：今天入境人数。

g(t)：入境人数检测阳性的概率，可以把这个概率定位海外确诊人数与海外总人数的比例，同时这个参数可以给你评估一下实行入境隔离14天的效果，不过可能要额外处理一下。

玩法是找一天作为基准，那一天人数就是x(0)，比如1月20日大陆的293例，然后自己评估一下1月20日各个参数的值（比如23日开始降低k(t)，每天降低一点，表明武汉的封城正在持续起作用且越来越有效，你可以对照一下每天的新增人数），再去算其他指标。要考虑方舱医院的效果这种，就在那个总住院人数那里改改就好。

你嫌麻烦，m，M，n这些参数全部为0就好。