看到风闻有人发“疫情与指数函数”的文章，自己觉得挺有意思尝试解释一下_风闻

如题，看到这样一个帖子。

评论区有人回复不理解为什么会有这样的发展趋势，引起我的兴趣，看看自己有没有办法解释一下。

高中生物书里肯定有关于J型曲线和S型曲线的说法，我不太记得当初有没有从细节上说过这两个曲线为什么是这样的形状了。如果仅从数学的角度来说，假设时刻t感染病毒的人数为x(t)，那么过了一段时间T以后，肯定有x(t+T)人感染，大概是下面这样的方程

这个方程应该挺好理解的，t+T时刻感染的人，等于t时刻感染的人加上T时间新增的人数。这个新增的人数，最简单的模型就是和时间T成正比，同时和t时刻人数成正比，比例系数取k。当然，这个模型还不太严谨，毕竟T时间内新增的人数本身又会传染给健康的人。

上面这个方程，如果T足够小，就可以得到下面这样的微分方程

这个方程比上面那个严谨一点，很小一段时间内，增量可以认为只和t时刻感染人数，以及这么小段的时间成正比。无非就是感染人数的增长率与当前感染人数成正比

这个微分方程可以解，你有经验可以直接看出这个就是指数函数。或者麻烦一点，变成下面这样的表达式

解出来就是这样的表达式

C是某个常数，你可以理解为它是用来修改曲线的形状的。这个就是指数函数，很明确，底数就是自然对数e。至于评论区有人说，任何底大1的指数函数图形都会趋于无穷这一点，老实说我想不到有什么可能底数不会是e，希望有懂的人能够解释一下。如果你看过有关自然对数e话题的文章，他会告诉你这个是跟“增长”高度相关，原因就是这个方程。

接下来考虑更细致一点的问题。传染病一个很容易考虑到特征就是，正在发病的人本身不会被人传染。极端一点说，如果所有人都被感染（且未接受治疗），那么会有就不会再有新的感染发生。数学上的处理使用下面这样的方法。首先，人群当中没有被感染的人数是

N是总人数。没有被感染的人占总人数的比例就是

假如感染者平均分布在人群当中（实际上不可能），由于已经感染的人不会被感染，那么极短时间dt内x(t)个感染者将带来比前面指数模型更少的人，依据比例就是

这个叫Logistic方程，神经网络经常用的东西。它的解是

x0是x的初值，你也可以理解为它是用来修改曲线形状的。这个解是比较常见的S型曲线，如果你对高中生物比较熟悉，可以很快回忆出它的一些特点。

这样的思路可以建立更复杂的情况，比如说存在治疗的情况

y(t)是t时刻的治愈人数，这里假设所有人都只需要花t0天治疗，且存活率为m，且都可能复发。

再考虑部分人获得永久抗体不再复发的情况

n为获得永久抗体的概率。再考虑采取强制措施限制人员流动的情况

且k与时间成负相关（说明措施越来越严，且越来越有效，但更符合经验的假设是它有个下限值，说明无论如何再严格，都总有些许可能导致增长）。实际上你会发现越来越复杂的情况，无非就是把模型里的参数全部换成时变的，然后讨论每一种措施对各个参数的影响，再求这个方程就好。

大致就是这样。