对称性与拓扑序：新型量子计算机的物理基础 | 众妙之门_风闻

**撰文 |**N. Wolchover

翻译 | 乌鸦少年

审校 | 文小刚、陈谐

2019年9月5日，2020年物理学新视野奖（New Horizons in Physics Prize）宣布授予凝聚态物理学家陈谐，以表彰她对于理解拓扑物质状态及其关系的深刻贡献。今天的文章就将介绍陈谐近期在拓扑序方面的工作。

凝聚态物理学家正尝试列举和分类所有可能的相。如果实现了完整的分类，不仅可以更好地解释目前为止自然界中已知的相，还可能指引新材料和新技术的发展方向。

在过去三十年里，凝聚态物理学家发现了物质的相的崭新领域：相互作用粒子的集体运动所演生的新型量子物态。这些新的物质状态迥异于通常的固态、液态或气态，只有在冷却到接近绝对零度时才可能出现，在如此寒冷的条件下，相互作用粒子由于其量子特性，在时空中作十分有规则的集体运动，掩盖了单个粒子的个性，从而导出了全新的量子物态。这些集体运动就像是完美的集体舞，描写了最低能量的基态。不同的集体舞给出不同的量子物态。它们有些已经在实验室中实现，而另一些只是理论上可能的存在。

上世纪80年代发现的分数量子霍尔效应（fractional quantum Hall effect）就对应于一类像华尔兹一样的集体舞。如果电子集体运动中有点缺陷，那么这些缺陷会有较高的能量，代表基态上的激发。实验表明，这些激发有时表现的像1/3个电子，或其它分数电子（带分数电荷）。像华尔兹一样的电子集体运动还会导致材料完全没有电阻的导电表面。

在另外一些材料中，电子的集体运动表现的像是有零质量的电子。还有一些材料中，电子集体运动像是有分叉的弦网液体，这会导出更加奇特的、以前从没想到过的新性质。这些新性质可以给出不受环境干扰的量子记忆，并可用来做拓扑量子计算。

2005年，科学家又发现了一种新型量子物态 ，其电子集体运动带有内在的分层结构。某些这种分层量子物态会有更好的不受环境干扰的量子记忆，但用其做量子计算不是很方便。

分数量子霍尔效应：

https://doi.org/10.1103/PhysRevB.41.7653

上文提及的2005年关于 Chamon model 的相关研究：

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.94.040402

０．探索所有可能的相

如今，为了发展量子计算机，微软和其他机构的研究小组正竞相将量子信息编码进这些由各种各样集体舞所描写的拓扑物态当中。

同时，就在最近，在理解可能产生的不同集体行为背后的模式方面，凝聚态物理学家取得了重大进展，他们的目标是列举和分类所有可能的物相。如果实现了完整的分类，不仅可以解释到目前为止自然界中已知的所有物相，而且还可能指引新材料和新技术的方向。

在众多理论物理学家的带领下，加上数学家的贡献，研究人员已将大量一维或二维空间中可能出现的“有能隙”物相进行了分类，方法是将物质与其量子纠缠结构（也被称之为量子拓扑结构）联系起来。（量子拓扑结构被张量范畴学这一近代数学分支所描写。）他们也开始探索在接近绝对零度时，三维物质可能出现的物相，这是目前研究中的空白地带。（编者按：最近兰天、孔良、文小刚在这方面取得了突破性进展。）

有能隙相（gapped phase）的基态具有如下特性：最低能量态足够地远离高能量态，或者说与高能量态存在能隙，所以系统稳定地处于最低能量的基态。只有有能隙量子相具有明确的粒子形式的激发。无能隙相（gapless phase）如同漩涡状的物质迷雾或者量子汤一般，在相的图景中，很大程度上仍然是未知的领域。

普林斯顿大学的凝聚态物理学家 Michael Zaletel 说，科学家寻求的“并非一个特别的物理学定律，而是所有可能性的空间。某种程度上，这是更加美丽而深刻的想法。” 或许令人惊讶的是，所有可能出现的相的空间本身是一个数学对象，它“有着如此令人难以置信的丰富结构，我们认为在一维和二维，它最终与这些美丽的量子拓扑结构一一对应。”

图１．陈谐是加州理工学院的凝聚态物理学家。她说，分类计划的“宏伟目标”是列举任何特定类型粒子可能产生的所有物相。陈谐手中的莫比乌斯带是一种奇特的拓扑结构，它只有一个面，一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。莫比乌斯带的形状在弯曲、伸缩或任意的形变下保持不变，也即具有拓扑不变性。

哈佛大学的 Ashvin Vishwanath 说，在物相的图景中，“所有的可能性都能够被有规律地分类。一切似乎都是可以被解释的。”——这又似乎太过巧合，让他感到困惑。他认为，列举物质的相可能就像是“集邮”，“每一张邮票只有一点不同，且不同的邮票之间彼此没有联系”。相反，物相的分类“更像是元素周期表，存在很多元素，但元素都可以被划分为人们可以理解的不同的类。”

尽管对量子物态及其演生粒子的行为进行分类对理解自然的基本定律看似并不具有重要性，但包括麻省理工学院的文小刚在内的一些专家却认为，各种不同的量子物态会演生岀各种不同的物理规律，而这些物理规律，有些正是描写自然的基本物理定律。所以基本粒子本身可能起源于许许多多有纠缠的量子信息（量子比特），文小刚称之为“量子比特海”（qubit ocean）。

例如，一种名为“弦网液体”（string-net liquid）的物相可以从三维的量子比特系统中产生，并具有与所有已知的基本粒子看起来相似的激发。文小刚说：“真正的电子和真正的光子可能只是弦网的涨落。”

译者注：普通物质通过粒子凝聚形成有序的物相，而根据“弦网凝聚”（string-net condensation）理论，拓扑相（topological phase）的形成是通过弦网凝聚。弦网凝聚为统一三维及更高维的规范玻色子和费米子提供了一种机制。弦的密度涨落对应规范玻色子（比如光子），弦端则对应费米子（比如电子）。

图２．弦网液体（string-net liquid）

１．从对称性到“拓扑序”

在这些绝对零度的物相出现之前，物理学家曾认为，他们已经弄懂了所有的物相。在二十世纪五十年代，只要通过将相变过程描述成对称性的破缺（break of symmetry），就可以解释当水结成冰时发生了什么：液态水在原子尺度上具有旋转对称性，即在每个方向上看起来都一样，而冰中的水分子锁定在晶体的行和列中。

1982年，事情发生了变化，在超低温条件下，二维电子气的分数量子霍尔态被发现。这些奇特的物质状态具有携带分数电子电荷的演生粒子，它们沿着系统的边缘单向前行，永不回头，因而没有电阻。

不同的分数量子霍尔态具有相同的对称性，因而不能用朗道的对称性破缺理论来描述，它们代表了一种新的序。文小刚说：“当时没有办法用不同的对称性来区分这些物相。”

图3．文小刚，物理学家，美国国家科学院院士，麻省理工学院终身教授，研究领域为凝聚态物理理论。

在1989年，文小刚把分数量子霍尔态，不放在平面上，而是放在不同的拓扑流形——比如像球面或环面的表面一样的连通空间上，以此来探测分数量子霍尔态中所隐含的新范式。

拓扑涉及这些空间全局的、不变的属性，不会因局域形变而改变。对一个拓扑学家而言，只是通过改变物体表面的形状，可以把一个甜甜圈变成一个咖啡杯，因为这两种物体的表面都有一个孔洞（甜甜圈的中心和咖啡杯的手柄），在拓扑结构上是等同的二维环面。相反地，他可以任意拉伸或挤压，但即便是最具可塑性的甜甜圈也会“拒绝”成为一块饼干。

文小刚发现，把量子霍尔态放到具有不同拓扑结构的空间上，可以揭示量子霍尔态中的新特性。他创造了“拓扑序”（topological order）这一新名词来描述这些物相的本质。其他理论物理学家也在揭示物相与拓扑的联系。随着许多更奇特的物相被发现，事情变得清楚无疑，那就是拓扑与对称性为分类提供了很好的组织架构。

“拓扑序”论文：

https://arxiv.org/pdf/cond-mat/9506066.pdf

拓扑相（topological phase）只在接近绝对零度时出现，因为只有在如此低的温度下，粒子的量子运动会相互关联，形成一种集体的模式（这就是量子纠缠模式）。这一全局的量子纠缠模式将所有的粒子连接起来。这种长程纠缠模式是拓扑的，不受局域变化的影响，就像流形中孔洞的数目一样。

图4．分类方法

２．根据拓扑结构分类物质的相

考虑系统中最简单的拓扑相——所谓的“量子自旋液体”，量子自旋液体由二维的“自旋”晶格组成，或是由指向上下两个不同方向、或以某种概率同时指向上下两个方向的粒子组成。

在绝对零度时，自旋液体中所有向下的自旋形成弦，这些弦形成闭合的圈。随着自旋方向的量子涨落，整个材料中圈的图样也不断变化：向下的自旋形成的圈合并成更大的圈，或者分成较小的圈。在量子自旋液体中，系统的基态是所有可能的圈的图样的量子叠加。

图5．量子自旋液体。向上的自旋可看作是背景，向下的自旋形成没有端点的弦。弦的自由集体运动所形成的弦液体，是一种量子自旋液体，其带有 Z2 拓扑序。

要将纠缠模式作为一种拓扑序来理解，不妨像文小刚所做的那样，想象量子自旋液体包裹在环面上，一些圈围绕着圆环的孔洞，一些圈穿过孔洞。由于这些围绕和穿过孔洞的自旋圈，量子自旋液体不是以所有圈的图样叠加而成的单一基态存在，而是处于四种分立的基态之一，这四种基态对应于自旋圈图样的四种不同叠加态。

图6．带有Z2拓扑序的量子自旋液体，在环面上有四个简并基态。

如图6所示，基态A是偶数的圈围绕孔洞、偶数的圈穿过孔洞的所有可能的自旋圈图样的叠加。基态B有着偶数的圈围绕孔洞、奇数的圈穿过孔洞；基态C和D分别对应于奇数-奇数、奇数-偶数的缠绕。

**即使自旋圈的图样存在局域涨落，但系统处于哪个基态是保持固定的。**例如，如果自旋液体有偶数的圈围绕环面的孔洞，其中两个圈可能接触而合并成一个不再围绕孔洞的圈。圈的数量减少了两个，但仍然是偶数。按照 Z2 拓扑不变量分类（奇偶分类），只有奇数和偶数两种拓扑上不等价的结构，因此，系统的拓扑序不变。系统的基态不受局域变化的影响，具有拓扑不变性。

图7．量子自旋液体的拓扑不变性：圈合并，但拓扑序不变。

未来的量子计算机可以利用这种不变的性质。Zaletel 曾研究过自旋液体和其他量子相的拓扑性质，他解释说，具有四种不受局域形变或环境干扰影响的拓扑基态“提供了一种存储量子信息的方法，因为信息位元可以存在于基态” 。

有拓扑序的自旋液体在环面上一般都拥有拓扑保护的基态（topologically protected ground state），但研究人员最喜欢的对象其实是 Z2 自旋液体（Read-Sachdev 1990, 文小刚 1990）或 Toric 编码（Toric code）模型。Toric 编码模型是加州理工学院的数学物理学家 Alexei Kitaev 在1997年从理论上构建的、能实现 Z2 自旋液体的严格可解模型。在过去的十年里，Z2 自旋液体已经在实验上实现。Z2自旋液体（Toric 编码）是一种拓扑量子纠错码（topological quantum error correcting code），是定义在二维自旋晶格上的稳定子码（stabilizer code）的例子。

Toric 编码应用周期性边界条件，自旋形成的圈本质上能够从系统的边缘移出，并从相反的一侧重新进入，使得它们能够环绕系统，就像围绕环面孔洞的圈一样，因而Toric 编码具有平移不变性，可以存在于平面上，并且仍然保持存在于环面上的多个基态。Zaletel说：“我们知道如何在环面上的基态特性之间进行转换，也知道粒子的行为。”

图8．将平面的上下、左右边分别连起来，就形成二维环面。应用周期性边界条件的平面与环面具有等价的拓扑结构。| 图片来源：Wikipedia

自旋液体还可以形成其它物相，在其中，自旋并不形成闭合的圈，而是形成分叉的弦的网状结构，这就是弦网液体。根据文小刚的理论，从三维的量子比特海开始，****自旋液体“能产生粒子物理的标准模型”。

３. 相的宇宙：一维、二维、三维

2009年和2010年，几个小组的研究完成了对一维有“能隙”物相（例如粒子链）的分类。

图9．物相的周期表

一维玻色子系统没有拓扑序。但如果一维玻色子系统有对称性的话，它们会有对称保护拓扑序。普林斯顿大学的理论物理学家 Duncan Haldane 在80年代指出，由整数自旋所形成的一维体系都是有能隙的。这些整数自旋所形成的一维体系中，有一半具有对称保护拓扑序（如自旋为奇数），另一半没有对称保护拓扑序（如自旋为偶数）。奇数自旋链在两端会产生半自旋粒子。因为数十年关于拓扑相的工作，Haldane 与 David Thouless 和 J. Michael Kosterlitz 一起获得了2016诺贝尔奖。

这些一维玻色粒子链的**对称保护拓扑序****不是源于长程量子纠缠，**而是来自于短程纠缠与对称性的不同搭配。有趣的是，一维费米子链具有两个有能隙的相，一个有拓扑序（长程量子纠缠），其端点有马约拉纳零能模，而另一个则没有拓扑序。

图10．顾正澄，香港中文大学。他和文小刚在2009年提出了对称保护拓扑序的概念。

对称保护的拓扑相（symmetry-protected topological phase）虽然有对称性，但描写它的数学语言不是群论，而是“群的上同调”理论，一个很近代的数学理论。在群的上同调理论中，上同调（cohomology）是一种对拓扑空间赋予代数不变量的方法。上同调群中的元素（对应于不同的对称保护拓扑相）是一种类似于流形中的孔洞数目的不变量。

二维空间的物相更为丰富和有趣。它们可以具有与量子纠缠的长程模式相关的拓扑序，如自旋液体中由向下的自旋所形成的涨落的圈状图样，因而被一些专家认为是“真正的”拓扑序（其于1989被详细描述）。

在过去几年中，研究人员已经证明，这些纠缠模式对应于被称为张量范畴（tensor category）的拓扑结构，它列举了物体可以融合或编织在一起的不同方式。马德里康普鲁滕塞大学（Complutense University of Madrid）的 David Pérez-García 说：“张量范畴提供了一种数学语言，来描述各种粒子融合或编织的自治的方式。”

Pérez-García 及其他研究人员试图从数学上证明，对于二维有能隙拓扑相的已知分类是完备的。他在2010年帮助完成了一维情况的分类——至少在人们普遍认为的假设之下，即这些物相总是被量子场论很好地近似。量子场论的数学描述把粒子的环境看成是平滑的。

Pérez-García说：“人们推测，张量范畴将涵盖所有的二维相，但目前还没有从数学上证明。当然，如果能证明这些并非全部的物相，那就更有趣了。奇特的事物总是有趣的，因为其中蕴涵着新的物理，而且可能有用。”

拓扑序和对称保护拓扑序是描写有能隙量子物相的。无能隙量子****相代表了另一个可以探索的、充满可能性的领域，然而这些复杂的物质迷雾始终难以被现有的理论方法描述。麻省理工学院的凝聚态物理学家 Senthil Todadri 说，“粒子的语言是无用的，我们将要面临最大的挑战。”

无能隙量子相是寻求理解高温超导的主要障碍，并且阻碍了量子引力研究者的 “it from qubit”（万物源自量子比特）运动。量子引力的研究者认为，不仅基本粒子，甚至包括时空和引力，都来源于某种底层量子比特海中的纠缠模式。

马里兰大学的理论物理学家 Brian Swingle 说：“在 it from qubit 中，我们花费了大量时间研究无能隙量子相，因为根据现阶段的理解，引力正来源于此。” 一些研究人员试图利用数学对偶，将量子汤的图像转换成高一个维度的等价的粒子描述。对此，Todadri 说：“一切应该以探索的精神来看待。”

图11．it from qubit.  |图片来源：simonsfoundation.org

在三维空间进行着甚至更为热情的探索。已经清楚的是，当自旋或其他粒子从自身所在的链条或平面脱离，并填满真实的三维空间时，会出现难以想象的量子纠缠模式。Pérez-García说：“到目前为止，在三维空间，有些东西逃脱出了张量范畴的图像。这种激发十分奇怪，超出了我们现有的理论框架。”

４．Haah 编码

在2005年波士顿大学的 Claudio Chamon 引入三维分层拓扑相之后，一个更疯狂的三维拓扑相——这些拓扑相目前被统称为分形子拓扑相（fracton topological phase）——出现在2011年。加州理工大学一位有天赋的研究生，Jeongwan Haah 在计算机上搜索寻找“ 梦想编码”方案时，发现了这个物相。Haah 发现的分形拓扑相的量子基态更加稳定，为在较高的温度下安全地进行量子存储提供了新的可能性。

图12．Claudio Chamon 于2005年提出 Chamon 模型。

为了实现较高温度下的量子存储，Haah 不得不求助于三维物质。在二维拓扑相（如 toric 编码）中，一个重要的错误来源是“弦算符”（stringlike operator）：对系统的扰动导致新的自旋弦意外地形成。这些弦有时会围绕环面孔洞形成新的圈，使圈的数量从偶数变为奇数或者相反，将 toric 编码转换为其它三个量子基态之一。因为弦不受控制地增长，并环绕物体，专家们认为，在二维空间不可能实现好的量子存储。

Haah 编写了一个算法来搜索三维相，以避免通常的弦算符。计算机给出了17种确切的解答方案，接着他开始亲自研究：其中四种物相被证实没有弦算符，当中对称性最高的那个现在被称为 Haah 编码（Haah code）。

图13．Jeongwan Haah，凝聚态物理学家，在华盛顿州 Redmond 微软研究院工作。他发现了怪异的具有分形特性的三维物质相。

Haah 编码对于量子存储有潜在的用途，但也非常怪异。在 Haah 刚做出这个令人迷惑的发现之后一两个月，加州理工学院的凝聚态物理学家陈谐听闻了这个消息，她那时还是一名研究生。陈谐回忆起当时的情景说：“每个人都非常震惊，我们不知道该怎么理解它。而现在多年过去了，情况一直如此。”

Haah 编码的数学形式相对简单：一个两项的能量公式的解，描述了立方晶格中与八个最近邻相互作用的自旋。但由此生成的物相“超出了我们想象力的极限”，Todadri 说道。

Haah 编码的特点是，电子集体运动的点缺陷具有分形结构，这种点缺陷被称为 fracton（分形子）。一般拓扑相中的电子集体运动没有固定的形状，属于一种液态集体运动，而分形拓扑相中的集体运动是非液态的，有固定的层状结构。只有当晶格的位点被一种分形模式作用时，粒子（在分形晶格中是分形子）才能在这些位点之间跳跃。也就是说，为了使分形子交换位置，必须向系统，比如连接四个分形子的正四面体的每个角注入能量；但是当系统放大的时候，原本看似只是点状的角会随之放大，成为一个小的正四面体，必须向这些小正四面体的每个角也注入能量。在更精细的尺度上，会看到更小的正四面体，如此层层深入，直到晶格最精细的尺度。

图14．正四面体分形结构。平移对称性是位置平移后保持不变的对称性，与之相对应，分形结构的自相似性是放大缩小变化下的不变性。 | 图片来源：Wikipedia

这种分形行为意味着 Haah 编码永远不会“忘记”组成它们的底层晶格，也永远无法如同在量子场论当中那样，用一个平滑的流形来近似。Chamon 编码也是如此。此外，Chamon 编码和****Haah 编码的基态数量随着底层晶格的规模增长——这是绝对的非拓扑性质。（拓扑结构，比如一个环面，伸展后仍然是一个环面，并不随尺度改变。）

Haah 编码的量子态非常安全，因为一个完全命中所有晶格位点的“分形算符”（fractal operator）不太可能随机出现。一种可实现的 Chamon 编码和 Haah 编码版本将具有很大的技术层面的意义。

Chamon 相和 Haah 相也激发了理论思考。Haah 一直在促进事情的发展。2015年，他和麻省理工学院的两名合作者发现了现在被称为“分形子模型”（fracton model）的一类物相的许多实例，这是 Haah 编码较为简单的类似物。

图15． Chamon 模型是分形子模型家族中的第一个模型。

从那以后，陈谐和其他人一直致力于研究这些分形子系统的拓扑结构，其中一些系统允许粒子在三维体积范围内沿着线或平面移动，这或许有助于对概念的理解，或者更容易在实验中实现。特别是陈谐他们发现了这些分形子拓扑相中的内在分层结构。

Haah实例研究：

https://arxiv.org/abs/1505.02576

陈谐后续研究：

https://arxiv.org/abs/1712.05892

更易在实验室实现的系统：

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.119.257202

陈谐说，Haah 编码“正在为奇特的的事物敞开大门。这说明我们对三维和更高维度所知是多么少！因为我们对正在发生的事情还没有系统的图像，可能有很多东西等待着我们去探索。”

还没有人知道，在可能的物相的图景中，Chamon 编码和 Haah 编码及其类似方法处于什么位置，或者这个可能性的空间有多大。据 Todadri 说，人们已经在对最简单的有能隙三维相的分类方面取得进展，但是在完整的分类计划能够开始之前，需要对三维相进行更多的探索。他说，很清楚的是，“当有能隙物相的分类在三维空间开始时，将不得不面对 Haah 最先发现的这些怪异的可能性。”

许多研究人员认为，要捕捉Chamon 编码和 Haah 编码的本质，并揭示三维量子物质的所有可能性，新的分类概念，甚至全新的框架或许是必要的。

文小刚：“需要新的理论，新的思维方式。”他认为，对于长程量子纠缠的非液态模式，我们或许需要新的图像。“我们有一些模糊的想法，但没有非常系统的数学去实现。我们可以感觉到它大概是什么样子，却仍然缺乏详细的系统。然而这令人兴奋。”

参考译名列表

fracton 分形子

Toric code  Toric 编码

Haah code Haah 编码

stringlike operator 弦算符

gapless phase 无能隙相

gapped phase 有能隙相

symmetry-protected topological phase 对称性保护的拓扑相

topologically protected ground state 拓扑保护基态

chiral spin liquid phase 手性自旋液体相

CZX halozeotype state  CZX halozeotype 态

Abelian fractional Quantum Hall state 阿贝尔分数量子霍尔态

spin liquid 自旋液体

string-net condensation 弦网凝聚

string-net liquid 弦网液体

quantum order 量子序

topological order 拓扑序

topological phase 拓扑相

cohomology group 上同调群

tensor category 张量范畴

topological quantum error correcting code 拓扑量子纠错码

stabilizer code 稳定子码

本文编译自quantamagazine.org，原文标题为“Physicists Aim to Classify All Possible Phases of Matter”，原文可点击“阅读原文”查阅。

特 别 提 示

1. 进入『返朴』微信公众号底部菜单“精品专栏“，可查阅不同主题系列科普文章。

2. 『返朴』提供按月检索文章功能。关注公众号，回复四位数组成的年份+月份，如“1903”，可获取2019年3月的文章索引，以此类推。

版权说明：欢迎个人转发，任何形式的媒体或机构未经授权，不得转载和摘编。转载授权请在「返朴」微信公众号内联系后台。