柏拉图：我参透了爱情，却搞不懂为什么只有五种正多面体！_风闻

微信公众号   超级数学建模

为什么正多面体只有五种？

这个问题困扰了柏拉图一生，让笛卡尔少了一个命名机会，差点让欧拉大神犯错，却彰显了柯西数学的逆天天赋！

柏拉图立

据说柏拉图为了深入研究几何，还专门在雅典西北郊外陶器区的柏拉图学院门口立着一块“不懂几何者，不得入内”的牌子。

经过深入研究，他发现只存在五种正多面体，分别是正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体，后来也被称为“柏拉图立体”。

即使柏拉图很痴迷地研究，时不时有各路的学者前来交流探讨，但始终无法用严谨的方式去证明，只存在五个正多面体这个结论。直到柏拉图去世，也没有人提出严谨的证明方法。

欧拉“抢注商

他提出了“欧拉多面体定理”：如果一个凸多面体的顶点数是V、棱数是E、面数是F，那么它们总有这样的关系：F+V-E=2，并且给出了证明。其中，F+V-E=2为欧拉公式。

其实，早在1635年，法国著名的科学家笛卡尔在研究多面体的时候，就通过不完全归纳法，发现了多面体存在一个关系：面+棱-顶点=2，也就欧拉定理。

可惜的是，笛卡尔因为没有严谨的证明，所以没有发表，后人在整理它的手稿时候才发现。**因此，笛卡尔少了一个定理，欧拉“抢注”成功，**当然这也没有阻止笛卡尔成为伟大的科学家。

本以为欧拉已经把证明多面体存在F+V-E=2关系的问题完全就解决了，但让人意外的是，随着初等几何的继续发展，欧拉的证明被指出存在问题，人们开始重新去寻找严密的证明方法。

过了半个世纪，天才数学家柯西横空出世，在1809年，20岁的柯西用一个简单的方法严密地证明了这个问题！

柯西遗传了父亲强大的基因，不过是表现在数学上，他的数学天赋在少年时期就已经展露，他父亲的朋友拉格朗日、普拉普斯都很欣赏，并预言他以后会是个伟大的人。

果不其然，柯西在20岁就提出了一个证明欧拉公式：F+V-E=2的严谨方法！

他是通过去面擦棱除角的方法，证明F+V-E=2的，我们以正六面体为例子，看看柯西是如何证明的：

**20岁的柯西提出了这个严密的证明，不得不感叹他惊人的数学天赋！**经过严密证明后的欧拉公式，也为后面迅速发展的拓扑学打下了很好的基础！

回想起来，20岁的超模君还在校园看别人恋爱呢。

正多面体只有五种

欧拉公式得到严密的证明后，柏拉图“只存在五种正多面体”的问题还没有得到解决。于是，人们继续探索。

不久，只存在五个正多面体的命题被证实。用欧拉公式证明“只存在五个正多面体”的方法很多，下面提供一个供参考：

经历了两千年的发展、几代数学大师的探讨，当年困扰柏拉图一生的问题终于得以解开。

但这远远不也是终点！

虽然证明了在三维空间里只存在五种正多面体，但我们想一想，在四维空间会不会只存在五个正多面体呢，五维空间呢……n维空间呢？