维纳斯和云朵会让你考不上大学吗？其实这完全不是重点_风闻

袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员，科技与战略风云学会会长

2019年6月9日，今年的高考结束了。跟往年不同的是，今年的数学卷子相当的出人意料，引发了大量的哀号与惨叫。人生总是充满意外啊！

一些典型的反应，可以见@中华全国学联的微博文章《换汤不换药的高考数学，这次换了个碗》（https://weibo.com/ttarticle/p/show?id=2309404380873830094634），此文的综合来源是《中国青年报》。@中华全国学联是中华全国学生联合会的官方微博，简介是：“高举主流价值观的红旗，竭力传播青春正能量，关注莘莘学子普遍诉求，助力青年学生奋发成才！”好吧，又是全国学联，又是《中国青年报》，看来此文可以当作“传播青春正能量”的官方吐槽！

文中引用了几位网友的留言：

“味精是甜的_天影：考试的时候差点气死，考完赶紧上微博，果然，大家都不会。看来不是我自己的问题（够了）

我想再睡一会啦： 会的都不考 考的都不会全国一卷气死我了！如果我今年没考上大学一定是因为今天下午的数学！

一只放弃减肥的小白鸽 ：这数学是人做的？”

文中还给出了不少截图：

“

除了常规吐槽

今年被cue到最多的

是一朵云和维纳斯

全国卷三· 一朵云

全国卷一· 维纳斯

网传的题目截图

”

现在问题来了：我怎么看今年的高考数学试卷呢？

其实，在2018年的高考前夕，我就做过一期《科技袁人》的视频（高考最大的意外是，那年的数学太简单了！ | 科技袁人），回忆了我的高中生涯和1992年高考的经历。对我来说最吃亏的是，那年的数学卷子是比较容易的。

为什么这算吃亏？因为我所在的高中班叫做“山西省实验中学数学优势班”，顾名思义，整个班就是以数学竞赛为中心组建的。我们班也确实不负众望，有两位同学拿到了全省数学竞赛第一名。

第一名为什么会有两个人？因为在高二和高三的时候，我们班分别有两位同学获得了全省数学竞赛第一名。这两位同学都参加了全国的数学冬令营，分别保送到北京大学数学系和中国科学技术大学近代物理系去了。

此外，我们班还得到了一个全省数学竞赛的第二名，——就是我。但我没有去参加数学冬令营，因为我去参加化学冬令营了，——我同时还获得了全省化学竞赛的第三名，在数学和化学的冬令营之中选择了化学。

总而言之，你可以理解，为什么数学试卷简单对数学优势班来说是吃亏了。数学满分120分，我考了118分，我们班的许多同学都考了接近满分的成绩。这是件不利的事，因为在数学上拉不开差距了。在这个意义上，我们是赢了竞赛，输了高考。人生总是充满意外啊！

经常有人希望考题简单一点，我必须指出，这一看就是学渣的想法。考题应该有足够的难度，这样才能有鉴别力，否则国家怎么能选出合适的人才呢？

我的科大师弟、等离子体物理学博士万维钢是一位著名的社会科学科普作家，笔名“同人于野”。他有一篇有趣的文章《高中是个把人分类的机器》（https://mp.weixin.qq.com/s/gTpTasAZaTbAt43Qzws9Jg），把这个问题讲得很透彻，欢迎大家参考。

谈完了这些大道理，下面我们来做一些具体的分析：2019年的高考数学题，从专业的角度来看怎么样呢？

我们首先来看那道维纳斯的题目，它是全国数学一卷的第4题：

这道题如果说有什么困难，那完全是在理解题意上，而不是在数学计算上。实际上，只要静下心来仔细看，很容易明白这道题问的是什么。

腿长105厘米能够说明什么？人的肚脐在腿的上方，因此腿长总是小于肚脐至足底的长度。而后者可以根据黄金分割确定人的身高，所以根据腿长的数值可以确定身高不小于某个值，即确定身高的下限。

把105厘米的数值代进去，得到身高不小于105 * 1.618 = 169.9 厘米。

再来看，头顶至脖子下端的长度26厘米能够说明什么？人的脖子下端在咽喉的下方，因此头顶至脖子下端的长度总是大于头顶至咽喉的长度。而后者也可以根据黄金分割确定人的身高，所以根据头顶至脖子下端的长度可以确定身高不大于某个值，即确定身高的上限。

确定上下限的道理是很容易想明白的。下面一个稍微有点技术性的问题是：根据头顶至咽喉的长度，如何确定身高？回答是用两次黄金分割。

第一次，得到头顶至肚脐的长度。怎么求呢？黄金分割说的是有三段长度，我们不妨把它们称为“短”、“中”、“长”，短 + 中 = 长，而它们的比例满足

短：中 = 中：长 = (sqrt(5) - 1) / 2 ≈0.618。

黄金分割

现在头顶至咽喉的长度相当于“短”，头顶至肚脐的长度相当于“长”，那么“长”是“短”的多少倍呢？中是短的(sqrt(5) + 1) / 2 ≈ 1.618倍，长等于中加上短，所以长除以短的倍数就是1.618 + 1 = 2.618，即(sqrt(5) + 3) / 2。

从另一个角度来理解，中是短的1.618倍，长是中的1.618倍，所以长是短的1.618的平方倍。求(sqrt(5) + 1) / 2的平方，你会发现它确实等于(sqrt(5) + 3) / 2，这个验算说明我们的推理是正确的。

再用一次黄金分割，根据完全同样的推理，头顶至肚脐的长度相当于“短”，身高相当于“长”。因此，我们又要乘一个2.618，或者说(sqrt(5) + 3) / 2。

现在的问题是，总的要乘的系数即2.618的平方是多少？或者说，1.618的四次方是多少？用分式计算(sqrt(5) + 3) / 2的平方，你会发现它等于

(5 + 9 + 6sqrt(5)) / 4 =(7 + 3sqrt(5)) / 2 = 3 * (sqrt(5) + 1) /2 + 2

≈ 3 * 1.618 + 2 = 6.854。

因此，把26厘米的数值代进去，就得到身高不大于26 * 6.854 = 178.2 厘米。

现在我们知道了，这个人的身高在169.9厘米到178.2厘米之间。四个选项哪个在这个区间里呢？只有175厘米。

这道题最重要的线索，在于问的是其身高“可能”是多少，而不是必然是多少。实际上，根据这个问句，就可以想到做法应该是确定一个上下限的区间。只要你想到这一点，后面的推理就全都是顺理成章的了。而如果你没有想通这一点，那你肯定抓瞎。

再来看那道云朵的题，它是全国数学三卷的第22题：

这道题在我看来，只是有些引人发笑，其实一点都不难。我已经很久没用极坐标了，不记得任何巧妙的做法，但解题思路是直截了当的，直接把极坐标的定义代进去算就是了。

怎么算呢？在原点设置一个直角坐标系，把这三段圆弧上的每一点用直角坐标(x, y)表示出来。表示的时候要用到一个角度，就是这个点到圆心的连线与x轴的夹角，我们可以把它称为α。也就是说，x和y各自都是α的函数，这构成一组参数方程。

例如对于第一段圆弧，因为它的半径为1，圆心的直角坐标是(1, 0)，你很容易就会发现这段圆弧的参数方程是

x = 1 + cosα，

y = sinα，

其中α的取值范围是从0到π/2。

然后，为了表示成极坐标，我们需要长度ρ和角度θ之间的关系。这里的ρ就是(x, y)这一点到原点的距离，即

这里的θ是(x, y)这一点到原点的连线与x轴的夹角。乍看起来求出θ似乎有点麻烦，但仔细一看，由于圆弧的半径等于1，原点到圆心的距离刚好也是1，根据几何关系，你立刻可以知道：

α = 2θ。

把这个关键的观察代进去，做一些三角函数的运算，你就得到：

ρ = 2 cosθ。

这就是第一段圆弧的极坐标方程，其中θ的取值范围是从0到π/4。

用同样的做法，你很快可以得到第二段和第三段圆弧的极坐标方程分别是

ρ = 2 sinθ

和

ρ = -2 cosθ，

其中θ的取值范围分别是从π/4到3π/4和从3π/4到π。

再来看第二问，什么时候|OP| = sqrt(3)？也就是问，什么时候ρ = sqrt(3)？这三段圆弧的ρ最大都可以取到2，所以在这三段圆弧上都可以找到ρ = sqrt(3)的点。

根据上面的极坐标方程，很快可以发现这些点对应的θ分别是：

第一段的π/6，第二段的π/3和2π/3，以及第三段的5π/6。

实际上，你甚至都可以用尺子在试卷的图上比划比划，大致可以看出这个答案是正确的。这可以作为一种验算的手段！

因此，维纳斯和云朵的这两道题在本质上并不困难，夸张一点的话简直可以说是“送分题”。不过，这并不意味着今年的高考数学题对我来说毫无难度。全国数学一卷的第21题，一道关于药物测试的概率题，就给我造成了不少困惑：

这道题的文字之长，在数学题中是令人吃惊的，简直像是一道语文的阅读理解题。长倒也罢了，真正的麻烦是难懂。大多数人看了一遍题目之后，恐怕都不明白这道题在说什么，更不用说求解了。

我看完这道题之后，首先想问的是：第一问中的“分布列”是啥？这个词在高中课本中出现过吗？

阿帅告诉我，高中课本中确实有这个词，指的是X取各种可能取值的概率分布，他们在高中时经常做这种题。好吧，这个概率分布倒是很容易确定。而且仔细想想，这里问的也只可能是这个意思。

X取各种可能取值的概率分布是什么呢？

X的取值只有三种：1，-1，和0。

X取1的条件是：施以甲药的白鼠治愈了，这个概率已知是α，而施以乙药的白鼠没有治愈，这个概率是1 - β。因此，X取1的概率是这两个概率相乘，即α (1 - β)。

同理，X取-1的概率是β (1 - α)。

X取0的情况有两种：两只白鼠都治愈了，这个概率是αβ，或者都没有治愈，这个概率是(1 - α) (1 - β)。因此，X取0的概率是这两个概率相加，即αβ + (1 - α) (1 - β)。

X取1、-1和0的这三个概率相加应该等于1，因为X只有这三个取值。验算一下，确实如此，可见我们做的是对的。

仔细看一下第二问，你会发现X取-1、0和1的这三个概率，就是第二问中的三个系数a、b和c。第二问中假设α = 0.5，β = 0.8，把这两个数值代进去，就得到

a = 0.5 * 0.8 = 0.4，

c = 0.5 * 0.2 = 0.1，

b = 1 - a - c = 0.5。

现在真正令人困惑的来了。什么叫做“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率？也就是说，的定义是什么意思？

我一开始把这句话理解为：在某个甲药的累计得分为i的时刻，试验结束，结论是甲药更有效，这种情况出现的概率就是。但这个定义十分怪异，因为根据试验的规则，你很容易发现甲乙的得分之和是不会变的，而两者的分数差除以2就是一方比另一方多治愈的白鼠的数目，因此当试验得到结论的时候，肯定是甲药或乙药中有一个分数是8，另一个分数是0。既然如此，当甲药的分数等于1或者2或者3等等直到7的时候，怎么还会得到一个不为零的“认为甲药比乙药更有效”的概率？

我一时想不明白这个问题。但这道题的奇妙之处在于，即使你搞不清的定义，你仍然可以算出它，因为第二问中已经给了一个递推公式：

我大致能够感觉到，这个递推公式并不是外加的，而是根据规则完全能够推出来的。但如果我在考场上，八成是顾不上仔细去想怎么推出这个公式的。

无论如何，第二问的第一题既然要我们证明是等比数列，那么直截了当的做法就是构造出一个关于和的等式。

把上面的递推公式变形一下，把右边的移到左边去，再在两边都减去，就得到：

现在重点来了。前面我们证明了，X取-1、0和1的三个概率之和为1，也就是a + b + c = 1。因此左边pi的系数是1 - b - c = a，刚好跟的系数一样。

由此我们得到：

把这个式子再变形一下，就得到：

这正是等比数列的定义。

这样，我们就证明了第二问中的第一个问题。

再具体一点，这个等比数列的公比是多少？我们前面已经求出a = 0.4，c = 0.1，所以如果用q来表示公比的话，q = a / c = 4。

再来看第二个问题。如何求出？线索已经很明显，就是利用刚刚证明的等比数列。

我们现在不知道从到是多少，但我们知道

如何利用这两个信息呢？注意到

而同时根据等比数列的性质，又得到

根据同样的思路，把这个连加扩展下去，就得到

现在请问，等于多少？根据等比数列的求和公式，它就等于

由此得到

其实我们能够算出4的8次方等于65536，这是一个在计算机科学中经常见到的数字。但我们并不急于把这个数代进去，因为我们现在要求的并不是，而是，后面我们有希望在求的时候把表达式化简一些。

好，知道了，如何求出呢？

方法是一目了然的。同样是做这个连加，不过这次只从i = 0加到i = 3：

如果把当作x，这个分式的上面就是x - 1，下面就是，所以两者相除等于

而x到底等于多少呢？4的4次方等于256，这是一个在计算机科学里更加常见的数字。因此我们得到了数值结果：

妙啊！最妙的是，我们居然是在还没搞清楚是什么意思的情况下，就求出了它的值。现在问题来了，对于最后一个问题，“根据的值解释这种试验方案的合理性”，该怎么回答？

当然我们可以含含糊糊地答一句：“很小，说明这种试验方案是合理的。”我不知道考生这么写，判卷老师会给多少分。不过无论如何，这并没有解决我们心中的疑惑。只有真正搞明白了的定义，你才能完全理解这道题在说什么。

经过我和陈经等朋友们的讨论，终于搞明白了，的定义应该是：在甲药的当前累计得分为i时，继续往下做试验，最终得到结论“甲药更有效”的概率叫做！甲药得分为i是当前的状态，认为甲药更有效是将来的结果，两者并不是在同一时间！

现在我们能够理解，为什么？因为当甲药得分为0时，乙药得分必然为8，胜负已经决出，乙药赢了，所以这时甲药获胜的概率是0。

同样的道理，为什么？因为当甲药得分为8时，乙药得分必然为0，胜负也已经决出，这时是甲药赢了，所以这时甲药获胜的概率是1。

那么，是什么意思？这个陈述的意思是，当甲药得分为4时，例如在试验刚开始的时候，预测未来的结果，甲药胜出的概率只有1 / 257，乙药胜出的概率高达256 / 257。

这个结论是合理的，因为在单次试验中，甲药治愈白鼠的概率是0.5，而乙药治愈白鼠的概率是0.8，所以你应该有超过一半的机会得到乙药更好的结论。在单次试验中，甲乙之间的机会比例看起来相差不是很大，而在最终结论中，甲乙之间的机会比例就悬殊到了1 / 256，这是因为最终获胜需要积累多治愈白鼠达到4只。

出于运气，在单次试验中甲药胜过乙药是很有可能的，但连续这样走运4次的概率就低得多了。好比一个围棋低手偶尔战胜一次高手是很有可能的，但连续4次战胜高手的概率就很低了，——除非高手在故意放水。

事实上，从这个论述中就可以理解，为什么得到一个等比数列。在单次试验能够决出胜负的情况中，甲药与乙药的胜率之比是c / a = 1 / 4。而在做4次试验，有一方以4：0获胜的情况中，甲药与乙药的胜率之比就是这个数的4次方，即。

顺便说一句，我们怎么知道在试验刚开始的时候，乙药胜出的概率是256 / 257？刚才我们是用1减去甲药胜出的概率1 / 257，得到256 / 257。但事实上，我们也可以独立检验这个结论。

请注意，在前面的推导中，甲药和乙药的地位完全是对等的。只要我们把两者的治愈率α和β对换一下，那些对甲药的等式就适用于乙药。这时在递推公式的三个系数中，b不变，a和c对换，所以等比数列的公比q变成倒数，即从4变成1/4。

按照同样的计算过程，就得到乙药的

跟前面得到的一样。这是一个很好的验算，既说明我们算的是对的，也说明这种试验方案并没有厚此薄彼，在甲药和乙药之间保持了先验的平衡。

由此可见，这种试验方案的基本思想是：并不天然地偏向某种药，但如果一种药比另一种药有优势，即使只强一点点，通过多次试验的积累，也能把这种优势放大显示出来。当然，如果两种药的疗效十分接近，你就需要经过很多轮的试验才能得到结果，所以试验的轮数也是一个对两种药之间差距的表征。

到这里，我们已经完全解答了这道题目。但如果我们对事物的原理有兴趣，我们就会问：那个递推公式是怎么来的？这不在考试的范围内，但这个问题本身是有价值的。

事实上，如果你想清楚了的定义，你立刻就可以明白：当甲药当前的分数为i时，如果没有得出结论，那么就需要进行下一轮试验，而它下一轮的得分有三种可能，-1、0和1。所以在当前看来，甲药最终胜出的概率，就等于三种情况的贡献之和，每一种情况的贡献等于这种情况发生的概率乘以这种情况下甲药最终胜出的概率。这正是那个递推公式：

正如我前面说的直觉，这个递推公式并不是外加的，而是根据规则完全能够推出来的。在这个意义上，可以认为这个公式是一个冗余信息，好比在一道关于三角形的题目中告诉你三角形的内角和等于180度。

这就引出了一个有趣的问题：题目中为什么要写上这个公式？

显然，这是因为这道题太难了，而且叙述得太不清楚了。如果不写出递推公式，绝大多数考生不会想到它，而且很可能绝大多数考生完全看不懂pi是什么意思。

作为选拔性考试的题目，固然要足够难才有鉴别度，但如果让绝大多数考生得不了分，那也不好，也是降低了鉴别度。因此，我完全可以理解命题老师的纠结，他最后决定写上这个公式，其实相当于一个提示。

在这里，我有一个建议。既然是一个提示，最好就明确地写上：

这样大家就不会有任何误解了，也避免了许多胡思乱想。如果是数学竞赛题，我相信会这样把提示明确地写出来的，不会把提示跟必不可少的信息掺和在一起。

我的科大师弟、云南大学物理系研究员陈清博士很喜欢概率论，他的第一篇论文就是关于量子博弈的。他研究了这道题以后表示，如果不用试卷上的递推公式，理论上可以根据一些组合关系直接写出，这就变成了一道组合题。但这样做非常麻烦，他尝试了一下以后放弃了。

陈清认为，这道题比大学教科书里的标准的伯努利试验、二项分布、几何分布、帕斯卡分布都要麻烦，算是有一定难度的了。如果给大学本科生的概率论做考题，在不告诉递推公式的前提下，恐怕做得出来的也是寥寥无几。递推公式是核心，大大降低了难度，使得不懂的人也可以往下做。

好，我们分析完了这三道高考数学题目。该如何评价它们呢？

基本上，我觉得这些题代表了一种趋势：跳出套路，需要准确的阅读理解和清晰的逻辑思维。

就大方向而言，这是很好的。从更宏大的视角来看，可以认为中美竞争使大家认识到，硬的科技才是国之根本，而不是公说公有理婆说婆有理的所谓素质。因此加强理科基础，重视数学建模和解决实际问题的能力，是好的改变。

不过就细节而言，那道药物试验的题可能有一个严重的缺点：题目的文字叙述太容易误解。

让我们再看一遍题目中的说法：表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率。现在我们知道了，甲药的累计得分为i和最终认为甲药比乙药更有效并不是在同一时刻，但这是因为做过了这么多推导和讨论。

我在第一次看到的时候都被绕糊涂了，跟朋友们讨论了一番才明白，那么考生一个人在场上会是什么感觉呢？有多少人能看明白这个叙述？我十分怀疑有没有1%。

​

因此，我们能看到出题人努力地增加提示，希望让更多的人得分。但如前所述，这个提示也写得不够清楚。这道题的含糊不清，是应该批评的，希望以后的出题有所改进。我们希望考生提高阅读理解的能力和活学活用的能力，但前提是我们应该给他们提供适于阅读理解的文本。

顺便说一句，许多人传说今年的数学试卷是葛军出的，然后又有许多人变着花样骂他。也有人指出，葛军早就不参与出题了。其实在我看来，这种舆论狂欢毫无意义，因为你能上什么学校，归根结底是取决于你相对于其他考生的排名，而不是你考了多少分。就算你不及格，如果其他人分数更低，那你还是高的。这不是玩笑，历史上就出现过这样的情况，例如1984年高考的数学平均分不到30分。

因此，学霸对试卷的难易是十分淡定的，而且如果试卷难他们会更加高兴。看到试卷难就痛哭流涕，编各种段子，甚至咒骂出题老师，这些都是典型的非理性思维。怎么个非理性法呢？就像“朝三暮四”那个故事里的猴子一样，看不清事物的本质，同样的本质换个形式就炸了。希望大家提升自己的思维层次，超越朝三暮四的猴子！

朝三暮四

最后，跟大家说一件事：在今年高考的时候，共青团中央来找我为考生推荐专业，推荐词由中华全国学联发布。是的，就是我们在开头提到的“传播青春正能量”的中华全国学联。你猜，我推荐了什么专业呢？

当然是我本科读的专业，科大化学物理系的物理化学专业。没错，全国只有一个系叫这么一个名字，而这个系也只有这么一个专业。

我的推荐词如下：

俗话说：学好数理化，走遍天下都不怕。一般理解这话说的是学好数学，或者物理，或者化学。但是，如果你学好的是数学 + 物理 + 化学呢？中国科学技术大学化学物理系，全国唯一的数理化并重的系。从泛函分析到量子力学到物理化学，都是本系的拿手好戏。郭永怀担任第一任系主任，培养的人才在许多方向取得了杰出成就，从火箭燃料到芯片设备。学渣才做选择，学霸全都要！欢迎大家报考科大化学物理系

郭永怀