万有引力简易计算DIY（二）——我们是如何发现并纠正space.com的数据错误_风闻

原创：牧夫天文

原作：徐鹏晖

编排：葛明红

虽然上期阅读量没有达到预期值，但是读者朋友们的留言呼声很高，希望能将这个栏目开下去，所以笔者决定回来继续写这个系列，基本保证两周一更的频率，欢迎关注。

另外本期开头先针对上期部分读者留言中的问题进行解答：

有读者反映说这个式子左边的替换没看懂，其实这个替换用到了这个式子：

这个是圆周运动中所需的向心力与运动半径、周期、质量的关系，与此类似的还有以下的式子：

这些式子还会在下文出现，具体后面细讲。用这个式子替换到左边的含义为“万有引力提供小物体做圆周运动的所需的向心力，两者大小相等”。

下面正式开始本期内容。另外如果没有特殊说明，以下默认m1>>m2以保证计算结果的严谨性，原因详见上期的说明。

上期回顾：（插入上期链接）

去年9月底的时候，我们翻译了一篇space.com关于TESS发现山案座πc的文章。这篇文章引用了在预印本网站arXiv.org上的一篇论文的研究结果，但是好巧不巧的是，space.com的原文中用来描述轨道的两个数据竟然对不上！（Σ(っ °Д °;)っ，笔者当时就这个表情）

（space.com的原文，时至今日仍留着错误的数据没有改动）

文中说山案座πc的轨道半径约为0.07AU，然后这一距离比水星的到太阳的距离小了约50倍。如果拿这两个数据一乘就会发现得到的水星轨道半长轴有3.5AU，地球也才1AU,这说明水星居然成了外行星……（笔者曾经一度以为自己的计算能力出了问题，0.07×50应该=0.35？……(￣▽￣)”）

这也就是说0.07AU和1/50于水星轨道半长轴这两个数据至少有一个有问题，但是到底是哪一个呢，还是两个都有问题？这个时候就需要原论文童鞋出来发言了。于是我们去arXiv.org网站找到了这篇文献并且把pdf下载了下来。在论文里关于山案座πc的轨道的描述中笔者找到了这样几个数据【1】：

（图上划线部分翻译：每个对山案座π进行观测的通道都探测到了约300ppm的信号值，周期约6.27天，信号时长3小时。）

（翻译：山案座π是一颗裸眼可见的G0V（这个是它的光谱型）恒星，距我们约18.27光年，质量约为1.1个太阳质量，半径约为太阳的1.1倍。）

纵观全文似乎没找到有关山案座πc的轨道半径的描述，怎么办？但其实现有的数据加上上期的公式结论已经足够，下面是计算过程（想跳过数学运算的读者可跳至运算小结）：

将上面两式合并并将数据带入，可得

运算小结：

结果在误差范围内，所以相互冲突的两个数据里面，0.07AU这个数据应该是没有问题的。

因此1/50于水星轨道半长轴这个说法有问题。具体要改成多少就得请水星老铁发言了。据查水星的轨道半长轴为0.387AU【3】。两者一比约为5.63，考虑数据准确度问题就取个整，约为5倍。

所以看起来应该是space.com的小编或者原文作者一时手抖加了个零……至此本案圆满告破。

其实将圆周运动公式和万有引力公式结合起来还能得到很多有用的结论，下面列举最常用的几个。

1、速度关系

在圆周运动中向心力和线速度有如下关系：

将它和万有引力公式联立，

两边消元整理可得

然后将这个v-r关系转化成图像

（图中数据以地球为例，横坐标单位为米，纵坐标单位为米每秒）

当然，在地球半径以下的数值是没有意义的，毕竟没有什么飞船或者卫星能在地球内部飞行……

从这一分支下去可以引申出三个宇宙速度的来源乃至对引力弹弓的解释，这个将在以后的推送中介绍。

2、周期关系

当然圆周运动的向心力公式还可以有另外的形式：

同样将它和万有引力公式联立，

可以得出结论

这和我们的常识也是相符的，离地球越远，绕一圈所需的时间就越长。对于球形星体，这一公式甚至能用来直接估计星体的质量。在地面上通过望远镜观测等手段确定天体直径，然后通过探测卫星上的激光高度计可得知轨道半径，之后只要记录卫星绕轨一周的时间就可以估算天体的大致质量了。

3、角速度关系

与角速度相关的圆周运动公式

emmmmmmmmmmm

大家应该知道接下来要干嘛了吧（疯狂暗示(～￣▽￣)～）

得

同样将这个ω-r关系转化为图像

（图中数据以地球为例，横坐标单位为米，纵坐标单位为rad/s）

可以看出这不是一个线性关系，而且是一个递减关系。也正是因为ω-r关系的这个性质，太空电梯原本是一个不可能实现的构想。

诶？为什么这么说呢？

我们下期揭晓。

此外同样欢迎大家多多点赞转发留言，读者的支持永远是笔者创作的最大动力，后续还有更多精彩内容。

另：据上海天文台消息，今晚9点到10点EHT（事件视界望远镜）项目将举行新闻发布会，公布一项重大成果，据猜测可能是人类历史上第一张黑洞照片，欢迎大家提前关注，明天牧夫天文公众号也将推出此新闻的专题报道。

参考文献：

【1】：Chelsea X. Huang, Jennifer Burt, Andrew Vanderburg, et al. TESS Discovery Of A Transiting Super-Earth In The π Mensae System.arXiv:1809.05967v1,2018

【2】：Wikipedia: Earth’s orbit, url: https://en.wikipedia.org/wiki/Earth%27s_orbit

【3】：Wikipedia: Mercury, url: 

https://en.wikipedia.org/wiki/Mercury_(planet)#Orbit,_rotation,_and_longitude

『天文时刻』 牧夫出品

微信号：astronomycn

Moon Occults Saturn Image Credit & Copyright: Cory Schmitz