一个大活人，还能让尿活活憋死？能…_风闻

科普中国-科普中国官方账号-中国科协科普工作官方微平台2019-03-22 09:43

2019-03-22

一个大活人，还能让尿憋死？？？

在高中物理课本上，有那么一位贡献卓越的天文学家，名为第谷·布拉赫。他详细而又准确的行星观测数据，直接帮助其助手开普勒总结出了行星运动三大定律，进而为牛顿建立万有引力定律奠定基础。

第谷·布拉赫画像，图片来自维基百科

然而这么一个人……参加宴会时想上厕所……

他出于礼仪，拒绝离开会场……

最后憋尿憋到……膀胱破裂……

去世了……[1]

最近天气逐渐转暖，春天来了，万物复苏，又到了在屋子里宅了一个冬天的人们出门溜达溜达的季节。不过一旦出门在外的时候，无论是不是选择困难症，都可能要在要人生难题清单里面加上：**去哪里才能上厕所？还有多久才能排到我？**这样的人生「终极」问题。

为了让大家都能有一个良好的出行体验！为了帮助大家顺利找到厕所，小编通过详实的论证和细致的数学分析，总结出了两条简单实用的出门找厕所两大规律。并结合实际场景分析了一下这两条规律的使用方法和注意事项，帮助大家从零开始，会找，能找，找好厕所，安心出门 ~

1、“预测”未来的马尔科夫链

要给日常生活中恐怖的东西排个序的话，不知道大家的选择是什么样的，小编第一个选择排老长老长的队……

以前，我相信动态平衡这一说，如果有两列队伍的话，长的那一列的人会自动补到短的那一列去，所以安心选择一条等着就好了。直到有一天，我了解了可以预测未来的马尔科夫链（Markov Chain）……

马尔科夫链描述的系统，其任一时刻的状态仅仅由其上一个时刻决定，而和更早的历史没有关系。就像链条一样，相邻两个环紧紧相扣，而更远的两个环之间并没有交集

马尔科夫链说的是这么一回事。小明在每天下午 5 点的时候有两种状态：一、认真学习。二、愉快摸鱼愉快玩耍。如果他今天是认真学习，那么明天有 40% 的概率会在玩耍；而如果他今天这个时候是在玩耍，那他会因为羞愧难当，在明天有 70% 的概率会认真学习。我们现在想要看小明之后每天下午 5 点在干啥。

每天下午 5 点，小明可能所处的状态和其相互之间的转移的概率关系示意图

假设小明刚开始下午这个时候都是在学习的，那么明天，他玩耍的概率就会变为 40%，学习的概率变成 1 - 40% = 60%。到了后天，他玩耍的概率分为两部分：昨天玩了今天继续玩，40% × (1 - 70%) = 12%；昨天学习了今天才玩，60% × 40% = 24%。所以后天他玩耍的概率为 36%，学习的概率为 64%。重复这样的计算，最后，他每天玩耍的概率为 36.4%，而学习的概率为 63.6%。

这正是马尔科夫链的精髓。

2、人该多的地方永远人多

回到我们关心的厕所问题上来。现在这个工具已经放到了你的面前，那上厕所能够用马尔科夫链来分析吗？

给我们不断变化的队伍建一个马尔科夫链适用的情形

首先，我们要构造一个马尔科夫链适用的场景。在景区里面，由于不断有来上厕所的人，也不断有走的人，不失一般性，**我们可以假设在外面排队的人数是处于动态平衡，相对固定的。每隔一段时间，两个厕所里面排队的人都会做出选择，是继续排这个队伍，还是换一条队伍。**那么这个「双厕所」系统，就可以开「马」了。

为了方便理解，我们依旧沿用上面小明同学的概率，只不过这时候他的概率不是学习还是玩耍，而是去上哪个厕所的概率。我们可以把这中间所有选择的过程归纳成为下面这张图。箭头和箭头上的数字代表了你每次做选择时候的方向和概率。

在厕所 A 和在厕所 B 排队的人在下一时刻的不同选择的概率的示意图

厕所 A 比较受欢迎，在所有到厕所 A 的人里面，下一时刻有 60% 的人会选择——就是你了，不管怎样都要排队等候。而还有 40% 的人可能因为人太多等原因选择另外一个厕所。厕所 B 则不那么受欢迎，在所有到厕所 B 的人里面，只有 30% 的人选择继续等候，剩下 70% 的人要溜。

和上一节中的计算相同，无论开始时候两个厕所外排队人数如何，经过多次选择以后， B 占比约为 36.4%，而 A 占比为 63.6%，也就是最终的状态会停留在 4：7，正好和两个厕所中间的转移的概率成正比。

这里面的残酷事实就是，虽然两者之间会不断有人员交换，但是，人该多的的地方永远是人多的。

这个定律的精髓在于，我们平时看到的样子，其实已经是系统平衡以后的样子，系统之间内部状态的转移已经全都被自然地考虑进去了。这种时候我们一般只需要……直接选人少的就好了。

3、死理性派上厕所

现在手机地图使用起来已经非常地方便，比如可以打开地图，输入「厕所」进行查询，身边哪里有厕所一目了然。

结合地图可以直观看到我们附近到底有多少厕所，遇到了三急也有去处。假如遇到了人多到爆炸的情况，我们也可以再进行挑选。

这一类选择问题其实是一个十分古老的问题。

穿过一大片麦田，要求让你带一个最大的麦穗回来。中途你不能够回头，也不能够进行更换，用什么样的策略，捡到大麦穗的可能性最大？

这个问题最难的地方在于我们面对的是彻底的未知，用统计学术语来说的话，我们缺少先验分布。在进入麦田之前，我们不知道麦穗到底有多大。如果我们太早做出选择，则很有可能**「捡了芝麻」；如果我们太晚做出选择，则会「丢了西瓜」**。选择厕所的过程其实和选麦穗很类似，我们也不知道地图里的厕所长什么样。

选麦穗策略示意图，假设 A > B > C，我们拒绝掉最开始的第一个，那么会有一半的概率选到整个序列中的最大值。

传统的选麦穗问题套路很简单，**最优的策略为拒绝掉开始的所有 r - 1 个选择，在这之后，一旦遇到比之前所有都好的，直接决定。**利用这种策略得到了最佳选择需要满足两个条件：

1.第 i 个为最佳选择

2.前 i - 1 个选择的最大值被我们拒绝掉了，也就是在开头的 r - 1 个里面。这样我们才能一直看到第 i 个选项

由此我们可以得到计算这个策略成功的概率为 [2]

如果希望最后选中最佳选择的概率最大，我们大约需要拒绝 1 / e ，也就是 37% 的选择。

但是，在找厕所的路途之中，我们完全可以回过头来选择之前已经遇到的最好的，这并不是一件丢脸的事情。在我们的找厕所的方法里，这个 1 / e 原则很可能有点水土不服了。

4、好马要吃回头草

我们这时候新的策略完全就是**「吃回头草」**。在观察完 k 个选项以后及时止损，回头选择已经看到的最好的那个。

一共有 N 个选择，我们同样先看前 r 个选项，记录最佳的结果。接下来在第 k 个（我们选择的终点）之前，一旦我们遇到了比记录结果更好的，直接选择。但是如果我们没有找到更好的，那就回头，从过去的 N - k 个选项里面选择最好的。

这个策略和之前的至多都只能做 N 个选择，在这点上两者是公平的，唯一的区别在于能不能回头。

为了直观了解两个策略哪个更强，我们人为地随机生成了 10000 个长度为 100 的序列进行模拟，按照原来的 1 / e 策略和我们的吃回头草策略从序列中找出最大值。下图中横轴为 k 的取值，也就是选择的终点，到达这里以后就不再继续看新的选项了。纵轴为 r 的取值，在一开始需要拒绝的选项的数量。因为我们选择的终点显然要大于需要拒绝的数量，所以在我们的结果中只展示了上面半个三角形的部分。图中颜色的深浅代表了在这个参数下取到最大值，捡到最大的麦穗的可能性。

数值模拟结果，横轴为 k，考察的所有选项个数；纵轴为 r，在最开始拒绝的选项的个数。颜色的深浅代表在这个参数下捡到最大的麦穗的可能性。可以看到，不同的参数选取会影响我们的最终结果

在图中可以看到，颜色最深的两个分别集中在中间，以及最右边的边界上。**而这最右边的边界不是别的，正是我们的 1 / e 策略。**因为如果我们取把选择的终点取到头的话，我们的回头草策略实际上看完了所有的选项。而且 N - k = 0，此时也失去了「吃回头草」的能力。

我们单独把对角线上的结果和最右边的结果拿出来进行比较。

数值模拟结果，横轴为数值模拟时选择的参数。图中蓝线代表原来的 1/e 策略，此时的横轴参数代表最开始拒绝的选项的个数。我们可以看到在 37 附近，蓝线确实取到了最大值。图中红线代表回头草策略，在 r = k = 50 的时候，我们可以以 50% 的概率取到最好的那个选择。此时对应的策略为只考察系统中一半的选择，然后回头选择之前看过的最好的那个

图中蓝线代表原来的 1 / e 策略，可以看到如果我们开始拒绝了 37% 的选择的话，蓝线确实取到了最大值 0.37。**而图中红线代表吃回头草策略，直接在看完前一半的选项以后回头选择最好的，就能够以 50% 的概率取到整个队列中最好的那个。**此时也确实发挥了吃回头草的极致……

光说这点好处肯定不能让你们坚定地选择吃回头草策略，接下来还有一些更猛的发现。

前面我们比较的是选中了最大的概率，但是我们并不只是想要最好的体验，我们还很关心下限。在找厕所的时候，我们平均的体验其实会更重要，比如比起一个稍微不那么干净的厕所，没有纸这一点显然更尴尬。所以我们接下来分析了 1 / e 策略和吃回头草策略中结果的均值。从下图看上去，大家好像都很优秀的样子……