从小到大只会做个纸飞机？关于折纸的「高端」技巧通通告诉你_风闻

中科院物理所-中科院物理所官方账号-2018-12-09 15:28

2018-12-09

原创：中科院物理所

设计精巧的纸模型

折纸，无论是东南西北，还是千纸鹤，纸飞机，都可以说是童年生活里不可或缺的一部分了。

折纸数学

Mathematics of Paper Folding

折纸如今已经被数学家广泛研究，比如讨论给定纸张模型的平面可折叠性——也就是模型是否可以在不损坏的情况下展平，以及使用折纸来解决数学方程式。

折纸中常用的几种折叠符号，在折纸教程中作者只需要在纸上画出这些符号，就可以明白折纸的全部流程

在一个一般的折纸问题中，人们只需要处理两种折痕，峰线和谷线。当然，也有很多小技巧去折腾曲线就是了，就像指甲，划一划就能方便地在纸上划痕，从而轻松地折出复杂的曲线。实际上，利用经纬排列的正方形格眼 (格数多为 2 和 3 的倍数) 及 45 度的折线我们就能折出非常非常非常多的东西了 [1]。

这样折叠可以产生一个简单的长度处理器，任意给定 P，都能输出特定的 Q。通过勾股定理和相似三角形我们可以得到两者间的具体数值关系

不过科学家们的脑洞总是停不下来，在折纸里，他们都想要玩点花样。比如如何三等分一条线段，如何实现在尺规作图中不可能完成的三等分角。如果我们把一张正方形的一个顶点折叠到与其相对的那条边上，我们就可以得到一个简单的长度处理器 [2]。

喂给它一个长度，它就会在另一边吐出一个长度。**假如我们把正方形的顶点折叠到对边的中点上，我们就可以得到三等分的线段。**假如我们折叠的是 2/3 处，就能得到五等分的线段。

更详细的数据表格，不断地对上表中的数据迭代计算，我们可以得到很多不同等分的方式

纸飞机

Paper Airplane

纸飞机的折法人尽皆知。在上个世纪 30 年代，约翰·诺斯洛普（美国航空工业家）就曾用它作为研究大飞机的模型。随着科技的不断发展，如今研究纸飞机的手段也越来越先进。

利用 Solidworks 进行简单的流体力学模拟计算 [3]

快捷有效的流体力学计算，可以让人们设计出更为高效的纸飞机形状。重心和升力中心的位置，机翼的形状等通通都可以优化。利用打印机，再复杂难懂的折纸图案，都可以准确无误地还原到纸上。

创下最长飞行距离记录的纸飞机实录

与之相对应，纸飞机的各项世界纪录也水涨船高。其中两项最为重要的记录为飞行时长和飞行距离。目前的世界纪录分别为由 Takuo Toda 保持的最长飞行时长 27.9 s 和由 Joe Ayoob 保持的最长飞行距离 69.14 m。[4]

一个自动折叠纸飞机并把它准确地投递到纸箱里的机器，发明者应该对纸飞机爱得深沉……

龙形曲线

Dragon Curve

龙形曲线 [6]

在无聊的时候，很多人会有拿起手头的纸乱叠的癖好。不断地对折一条纸带，然后将其展开，让线段之间的夹角均为 90 度，我们就能得到一条龙形曲线[5]——因为它真的长得很像一条龙。不过因为叠纸的厚度增长是指数型的，每次折叠以后纸的厚度都会变为折叠前的两倍，所以在折叠 6-7 次以后就无法折叠了。所以我们在现实生活中看到的龙形曲线并不那么完美。

所幸计算机技术已经十分发达，利用计算机，我们可以看到折纸生成大型龙形曲线的样子。

因为龙形曲线最早由 NASA 物理学家 John Heighway 等人开始相关探索和研究，所以也被称为 Heighway 曲线。

不断地通过同一个规则迭代生成的龙形曲线

数学上可以通过不断迭代的方法产生龙形曲线：

1.选定两个起始点

2**.左右交替**地将线段转换为以其为斜边的等腰直角三角形的另外两条边

3.不断重复第 2 步

回到我们的折纸问题上，龙形曲线其实也可以理解为一个人随机地选择左转或者右转前进，但是又从来不走重复的路，最后走过的路径最后会变成什么样？

龙形曲线具有分形特性，局部和整体具有相似性

说起龙形曲线本身最吸引科学家关注的地方，当然还是他的分形特性，以及带来的自相似性质了。在一幅龙形曲线图中，我们总可以找到一个较大的部分和一个较小部分的相似关系，宛如一条完全曲折的海岸线。通过比较图形尺寸变化与面积之间的关系，即可「定义」图形的维度。有趣的是，龙形曲线的维度恰好为 2。分形图案很多并不是 2，一般他们拥有分数维的维度。如科赫曲线，其维度为 1.26。这也就说明，龙形曲线有可能用来填充平面。也就是我们平常所说的铺地砖。