无穷小量的回忆录丨混乱博物馆_风闻

我们曾经多次提及数学史上的“第一次数学危机”，这场危机过后，人类确立了无理数，有了将有理数上的运算拓展到了全体实数上，实在是收获颇丰。

但新的数学危机也在漫长的潜伏中逐渐爆发出来，这就是微积分研究中无穷小量的定义问题，尤其是无穷小量是不是0的问题。

而与第一次数学危机一样，无穷小量的妥善解决，最终给我们带来的崭新的天地，成为了强大的武器。

－文字稿－

古希腊的智者时代，有一个著名的前苏格拉底哲学家，芝诺，他提出了一个最经典的佯谬，“追着乌龟的阿基里斯”：阿基里斯的速度是乌龟速度的100倍，但乌龟先走了99个单位。阿基里斯要追上乌龟，就要先走完这个99个单位，但乌龟将在同样的时间内再走0.99个单位，阿基里斯于是还早再追0.99个单位，然而乌龟已经又走了0.0099个单位，阿基里斯还得再追0.0099个单位……以此类推，尽管阿基里斯与乌龟的差距将成为无穷小量，但无穷小量毕竟不是0，

芝诺认为这证明了快的永远追不上慢的，也就证明了速度不存在，运动也不存在。

与此同时，就以圆周率计算来说，早期的割圆法暗示了这样一种思想：两个量虽然有差距，但只要能使这个差距无限缩小，就可以认为两个量最终将会相等。

接着在计算圆形的面积时，沿着半径将圆拆分成无穷多个扇形，然后认为这个直与弯之间的无穷小量就是0，由此得出了圆形面积的精确公式——这些微妙的矛盾在西方的阿基米德时代和东方的九章算术时代就埋伏确立下来了。

南北朝时，祖冲之的孙子，祖暅在计算球体体积时提出了祖暅原理：对于平面上的任意两个形状，如果它们等高，且在相同高度上等宽，那么这两个形状面积相等；同样，空间中任意两个形体，如果它们等高，且在相同高度上横截面积也相等，那么，这两个形体体积相等。

这看起来非常显然，但是暗含了了不得想法：线本来没有面积，但是无穷多条线加起来就有面积；面本来没有体积，但是无穷多个面加起来就有体积。

但在历史上的大多数时间里，数学都不是什么严谨论证的学问，正如我们在第一次数学危机中看到的，数学家往往首先是哲学家，它们更关心如何从数学现象中提炼出自己喜欢的结论——所以无穷小量继续潜藏了1200多年，才缓缓走了出来。

1635年到1647年之间，意大利几何学家博纳文图拉·卡瓦列里（Bonaventura Francesco Cavalieri，1598－1647）重新发现了祖暅原理，他的论文很快受到了英国教会数学家约翰·沃利斯的重视，后者奠定了幂的表示法，给非正整数次幂赋予了意义——1656，沃利斯利用祖暅原理考虑了的图象从0点开始对X轴投影围成的面积，算出那刚好是将投影补完成一个矩形，再除以m+1。

学过高等数学的人都会注意到这个结论稍加变化就是一次完好的定积分计算——的确，17世纪正是海外殖民地的建设高潮，远洋航线的测绘涉及了大量的曲线计算，莱布尼兹在1686发表论文创立了现代微积分——他将曲线下方的面积分割成无穷窄的矩形，用离散的级数运算代替了连续的函数计算，解决了各种复杂的问题，牛顿也在1704年也独立创建了英国版本的微积分，将无穷小量称为“最终会消失的量”。

无穷小量究竟是不是0的问题终于彻底爆发了出来。

微分讨论了函数的自变量改变一点的时候，函数的值会相应地改变多少一点。莱布尼兹的d就表示这一点无穷小量。在一元函数中，两者的商即微商，他也认为这等于导数，也就是微分关系最常见的表示的由来。

但导数是一条切线的斜率，而微商描述了一段割线的斜率，同时，割线的端点如果重合就不再能确定一条直线，谈不上斜率。

更尖锐的矛盾是，利用微分推算X2的导数，x的无穷小量既然出现在分母上，后来还当作公因数约了分，就不是0；但是到头来又把它省略了，显然是认为它是0——无穷小量一会儿是0，一会儿不是0，彻底违反了实数的“阿基米德公理”，几乎动摇了数学的根基——贝克莱主教抓住这个把柄，强烈地抨击了当时的微积分学，但微积分的研究早已经硕果累累，成为数学分析的利器——在严谨与成就之间的取舍，就是第二次数学危机。

最终解决问题的是柯西，他在1821年明确了无穷小量不是一个不确定的量，更不是一个实数，而是一个以0为极限的变量，并且严格地定义了序列的极限：

对于一个实数序列，如果无论给定多么小的数字，都能确定该序列在某一项之后的所有元素都更小，那么这个序列的极限就是0，它在项数趋于无穷大时就是无穷小量。

就这样，微积分重新建立在了明确的极限概念上，19世纪后的数学家据此重新推导出了所有的微积分结论，也消除了无穷小量是不是0的疑惑：无穷小量是个变小的过程，可能是序列，也可能是函数，而不能直接视作0，但反过来，0作为一个常函数或者常序列却满足无穷小的定义，是无穷小量的一个特例。

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