物理学家可能永远也无法解释数学的强大威力_风闻

原创： Mario Livio 中科院物理所​

科学无国界

我们是知识的搬运工

作者：Mario Livio

翻译：Nothing

审校：loulou

1960年，诺贝尔奖得主物理学家尤金.维格纳写下名为《数学在自然科学中不可思议的有效性》的文章。在这片文章中维格纳写到数学的神奇力量不仅仅包含了描述世界的能力，甚至还具有在物理世界预言现象的能力。他写道：“数学语言在物理定律形成过程中所展现出的魔力是我们无法理解也不应得到的礼物。”

经典电磁学中所有观测到的现象竟然都可以被四个数学公式概括！更有甚者，1864年麦克斯韦用这四个方程预言了电场或磁场可以产生向远处传播的波。1880年左右，赫兹用精巧的实验首次探测到这些波。 如果这还不够，那么现代电动力学理论也就是量子电动力学更加令人惊诧。 2006年一个由哈佛大学物理学家组成的团队测量到的电子磁矩值精确至万亿分之八。由量子电动力学计算得到的值也达到了相同的精度并且和实验值吻合的很好。是什么赋予数学如此令人难以置信的威力？在这篇短文中我不打算回答这个复杂的问题。我只是展示这个问题的一些不为人熟悉的方面。

关于数学威力的难题可能比上面提到的电动力学的例子更加复杂。 关于‘不可思议的有效性’有两个事实，我认为其中一个是主动的，另一个是被动的。主动的一面是指当物理学家试图照亮他们在大量实验现象中迷宫似的道路时，他们可以将数学作为火把。换句话说，至少有些自然定律就是用数学术语构建的。在那些定律中用到的数学字符、关系和公式是按照特殊的目的发展出来的。例如牛顿，他建造了微积分这一数学的分支，因为他需要这个工具来建造他的运动方程。相似的，弦理论学家经常为了自己的需要构造数学工具。另一个是被动的方面，指的是有些情况下抽象的数学理论在创建之初就没有考虑过应用，只有过了数十年甚至几百年之后才会在物理模型中展现出强大的预言功能。接下来的部分，我会描述一个关于主动和被动方面相互作用的美妙的例子。

神奇的纽结

在希腊神话中，亚历山大大帝用他的剑砍开了乌尔蒂姆乌之结，之前无数尝试解开它的人都没有成功（戈尔迪乌姆之结（Gordian knot）是西方传说中的物品，神谕说，如果谁能解开这个结，那么他就会成为亚细亚之王。）。

纽结，特别是海边的纽结，长期被称为“英国人的领带”、“吊颈结”、“猫爪子”。十八世纪六十年代英国物理学家威廉.托马斯（现在大家称他为开尔文勋爵）真正让纽结成为物理学的研究对象，因为他提出原子就是以太上的结。为了构造像元素周期表一样的表，托马斯必须要能将结分类才行，也就是说找出哪些不同的结可以存在。这个特殊需求点燃研究关于纽结的数学理论的热情。这是我刚才提到的数学效力的积极方面。换句话说，物理学家和数学家认为纽结结是原子可行的模型，因此他们开展了对结的数学研究。

图1. 一些纽结

一个数学上的纽结看起了和弦上的结很像，只是弦的首尾相接。在托马斯的理论中，像图1a1b1c中那样的结， 至少从原则上讲，可以用来表示表示越来越复杂的原子，如氢、碳、氧原子。因为纽结结真的有用，数学家寻找可以将纽结分类的精确的方法并最终找到了它-如果你无法将一个结通过简单的操作变成另一个，那它们就是不同的。直到十九世纪末，苏格兰数学家Peter Guthrie Tait和Charles Newton Little发表了不少于十次交叉的结的表格。不幸的是，当这项工作发表时，托马斯的原子结构模型已经被抛弃。然而，尽管没有任何应用前景，纽结理论由于其自身的魅力持续吸引着数学家的兴趣。唯一的不同就是，就像英国数学家Sir Michael Atiyah说的那样：“纽结理论成纯数学的一个深奥的分支。”

图 2. 将一个结变形

一直以来，纽结理论的基本目标之一就是找到真正可以区分扭结的性质——也就是找到纽结不变量。纽结不变量就像是纽结的指纹一样，它不会随着纽结外表的变形而改变。你可能会认为一个纽结最少的交叉数可以作为这样的不变量。毕竟，无论你怎样尝试，你都不能减少三叶草状的纽结（图1b）中的交叉数减少到3以下。然而，最小交叉数其实不是一个非常有用的不变量。像图1显示的那样，有三个不同的纽结具有六个交叉，不少于七种纽结具有七个交叉。

纽结理论中的两次重大突破分别发生在1928年和1984年。在1928年，美国数学家发现一个数学表达式，这个表达式利用交叉数组成的式子（Alexander多项式）来描述纽结。例如，三叶草扭结的Alexander多项式是t2−t+1。拥有不同多项式的纽结一定是不同的。不幸的是，两个拥有相同多项式的纽结也可能是不同的。因此，尽管它是非常有用的，但是Alexander多项式仍然不是分类纽结的完美方法。经过几十年的努力终于在1984年迎来了第二个突破。数学家Vaughan Jones发现了纽结理论和另一个数学分支之间的联系。这导致了另一种比Alexander多项式更有效的不变量的发现，新的不变量被称为Jones多项式(琼斯多项式)。例如，琼斯多项式指出，即便是对于纽结和它的镜像，多项式也是一样的(图3）。

图3. 纽结和它的镜像

更重要的，由于琼斯的发现，随之而来的一系列活动突然将数学和物理领域中令人眼花缭乱的各个领域联系起来，甚至渗透到弦理论中——这是目前最有希望调和广义相对论和量子力学的尝试。

特别的，弦论学家Hirosi Ooguri和Cumrun Vafa发现很多弦之间相互作用形成的复杂拓扑结构的个数和琼斯多项式有关。更进一步来说，弦论物理学家领袖Ed Witten发现琼斯多项式在现代物理学最基础的领域之一——量子场论中提供了新的见解。

从这段纽结理论的简易历史中可以看出。首先，它发挥了数学理论的积极作用。物理学家需要一个原子模型，然后发现纽结提供了合适的工具，因此纽结理论诞生了。当一个更好的数学模型被发现，数学家并没有抛弃纽结理论。仅仅是被自己的好奇心驱使，他们花费数十年研究纽结的性质。在大多数数学家看来，仅仅是理解纽结的性质和找到控制其分类的原理的可能性，就已经是一种精美绝伦、不可抗拒的东西了。然而，接下来纽结理论表现出被动有效性。谁也没想到，琼斯多项式和纽结理论在弦论中会得到广泛应用。

让整个故事变得更加惊人的是这些波在1880年左右被赫兹用精巧的实验首次探测到以下的事实：故事始于托马斯开始研究纽结是因为他在寻找描述原子的理论，原子后来被认为是组成世界的最基础的单元。经过历史的轮回，纽结现在被发现和弦论密切相关，它是我们现在理解世界的另一种方式。可以看出，纽结理论起源于解释物理实在的努力，然后它变成了完全抽象的数学-最终又回到它最初的使命上去。这还不够令人惊讶吗？

原文链接：https://plus.maths.org/content/os/issue49/features/livio/index