重振数学，中国应向美国学习什么？_风闻

【作者：丁玖】

“如果我们想知道数学的未来，恰当的方式是了解它的过去。”

法国数学家庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）这句名言，被美国数学史家克莱因（Morris Kline，1908-1992）放在他的煌煌大作《古今数学思想》（Mathematical Thought from Ancient to Modern Times）的卷首。

波兰裔美国数学家、“氢弹之父”乌拉姆（Stanislaw Ulam，1909-1984）在其自传《一个数学家的经历》（Adventures of a Mathematician）中也吐露心声：“我常惊奇黑板或草稿纸上的乱涂会改变人类发展的进程。”

爱因斯坦告诫我们：“想象力比知识更重要。”传奇匈牙利数学家爱多士（Paul Erdös，1913-1996）经常引用他的同胞数学家瑞利（Alfréd Rényi，1921-1970）对数学家所作的“将咖啡转化为定理”的经典刻画。其实，数学家的神圣使命并不仅仅在于证明伟大的数学定理，而是更进一步用数学的思想武装人类。

数学文化的魅力就在于此，想象力到处弥漫在数学思想的空间。它告诉我们，那些杰出的数学家是怎样思考的；那些可以帮助改变人类历史进程的奇思异想是怎样横空出世的；那些目光犀利、翱翔于数学天空的飞鸟是怎样发现天穹远处的一片宝地的；那些身强力壮的巨蛙是怎样挖掘出深藏地下的无尽宝藏的。

中国的数学文化氛围欠佳

十年来，中国的数学文化越来越受到数学界人士的重视。今年8月，南开大学的顾沛教授告诉我，全国范围内已有三百来所大学开设《数学文化》的课程。数学教授刘建亚与汤涛创办的《数学文化》杂志自从2010年春创刊后，很受读者欢迎。丘成桐教授等编辑的《数学与人文》丛书也已出版了近二十本书籍，覆盖了数学人文情结的各个方面。全国性的数学文化论坛会议在严加安先生的主持下，迄今已经连续召开了八届，影响深远。

此外，有一批年轻的数学博士，不是热衷于挤SCI的研究性文章，而是积极地从事数学的普及工作，发表有价值的数学家的评述，出版优秀科普著作的译本，致力于惠及普罗大众。这些可能比为了升职、为了奖金而发表基本无人看的学术论文对社会的发展，更具有价值，更令人感动。

但是就整体而言，在中国，数学文化的氛围还不够浓烈。我们已经有了一本潜心数学文化的好杂志，但还只是“一花独放”。由于学术评估指导思想的影响，学界太看重研究，导致整个高校教师队伍忙于制造论文，鲜有人愿意撰写科普文章。记得我2011年春应《数学文化》的汤涛主编邀请正在写作《混沌分形漫谈》一文之时，就有几位学术同仁对我说“现在谁会写这类文章”。他们的观察是对的。

正因为如此，证明定理似乎成了我国数学家唯一的职责。数学的技术性笼罩着一切，而数学的文化性及启蒙性却被搁置一边。因而我们常常看到众多的数学教授在自家的周围辛辛苦苦忙个不停，却不知道外面的世界花花绿绿多么精彩。如果数学家沦落为仅仅以证明定理为生的“证明机器”，他们就会缺少“仙风道骨”。这就定义了何为工匠，何为大师。从现在起，我们应该多鼓励年轻的博士硕士，不仅好好地研究学术，而且要多关注数学文化的传播，更要身体力行，投身到这一意义非凡的行动中去。 

其实，苏格兰裔的美国数学家贝尔（Eric Temple Bell，1883-1960）的名字长久地被人记住，并非因为他曾经当过加州理工学院的数学教授，并非因为他担任过美国数学会的副会长，并非因为他获得过美国数学会奖励分析学研究成果的第二届博歇（Maxime Bôcher，1867-1918）纪念奖，而是因为他于1937年出版的一本书Men of Mathematics（有几个中文译本，其中徐源翻译、上海科技教育出版社2004年出版的一本书名是《数学大师：从芝诺到庞加莱》）。

八十年来，这本书影响了几代青少年。其中众所周知的名字有中国人杨振宁、英国人戴森（Freeman Dyson，1923-）以及美国人纳什（John Nash Jr.，1928-2015）。他们求学时代被这本书描绘的三十余位大数学家的故事所激励，日后分别成长为上世纪著名的理论物理学家和纯粹数学家。贝尔的数学研究或许只影响了数学大树的单枝片叶，但他的数学史大作影响了整个人类。一花独放不是春，万花齐放春满园。

数学科普家们所从事的事业就是为了“万花齐放”。贝尔能写出这么影响深远的人物传记，除了他有一颗让数学的光芒普照大地的心之外，他的早期人文训练练就的写作功底提供了他成为一代数学科普大师的一个极为难得的充分条件。须知，他的本科和硕士学位均为文学，而数学博士则来自充满人文教育气息的哥伦比亚大学。

在我们国家，迄今还没有出现像贝尔这样伟大的数学科普家。我们缺乏对数学的理解及对文字的表达均为上乘、可以与贝尔相比的写作高手，更不要说具有像他那样能把数学家的灵魂和业绩生气勃勃地捧到读者手中的能力。这种能力除了天赋的因素，余下的就是多年的学术研究及知识积累。

冰冻三尺非一日之寒。今天，我们能读到的国内一些数学科普著作大都缺乏原创力、思想深度甚至概念精确性。在当今信息唾手可得的快餐时代，并不是将维基或者其它网络资源或现成书籍中的故事重新组合，就能长出一棵有生命力的科普大树。

当然，有写得很好的科普著作，比如我十年前在某个旧书摊中买到的中国最好的数学史家李文林教授的那本《数学史概论》，就是我读到的四十年来写得最棒的中文数学史原著。还有十几年前，我在家乡的古籍书店仅花了三元买到一本原价三十元左右没人读的美国大物理学家费恩曼的传记《迷人的科学风采》中文译本。它让我在中国的国家级报纸上第一次发表了文章，从而一发不可收拾，养成了写中文文章的习惯。

优质的数学期刊

反观，数学文化在美国一直是欣欣向荣的。

美国是数学强国。从第二次世界大战开始，它网罗了全世界最优秀的数学家，数学研究的火炬越烧越旺。同时，数学文化也一直与这个国度的数学教学及研究齐头并进，同平民百姓广义下的数学教育相辅相成。君不见像芝加哥大学的哲学系毕业生加德纳（Martin Gadner，1914-2010） 这样的数学科普家为数学思想的普及贡献终生。他大学期间没有修过一门数学课，却为《科学美国人》主持了几十年的趣味数学专栏，并出版了几十本图书。他生前备受研究型数学家们和普通读者的一致尊崇与爱戴。

美国的两个全国性数学组织，美国数学会（AmericanMathematical Society）及美国数学协会（Mathematical Association of America），对于数学文化的传播功不可没。美国数学会是中国数学会的对等物，侧重于数学的研究方面；美国数学协会则侧重于数学的教学方面。然而，美国数学会也重视大学生和研究生的数学教育。另一方面，美国数学协会同时重视大学生的数学研究。这两个数学团体独立运行，互相补充，彼此合作。比如它们每年合开年会。

这两个组织尤其关注大学生的智力投资及其未来的科学道路。特别是美国数学协会旗下的众多期刊，刊登的全是阐述性的数学文章。其中一些出自于数学名家的手笔。这些写法高超、吸引读者的文章强调数学的直观性、实践性与统一性，培养学生对所论及学科的历史感，帮助他们寻找概念的源头，以便更好地了解数学与自然科学及工程技术之间的密切关系。

美国数学协会出版如下四份学术期刊：《美国数学月刊》（The American Mathema-tical Monthly）、《数学杂志》（Mathema-tics Magazine）、《高校数学学报》（The College Mathematics Journal）以及《数学视野》（Math Horizons）。《美国数学月刊》面向从本科生到专业人士的广泛读者。《数学杂志》面向本科生的数学老师，尤其是大三、大四年级的老师。《高校数学学报》也面向本科生的数学教师，但主要是大一、大二年级的教师。而《数学视野》则完全面向本科生，它的编辑中也有本科生自己。

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《美国数学月刊》通常包含三个栏目。第一个栏目是一般性文章。它们有显要的主题，带有研究性甚至开创性，如李天岩和约克于1975年发表的著名论文《周期三则意味着混沌》（Period three implies chaos）。第二个栏目发表较短的文章，称为“笔记”。它们通常给出处理老问题的新观点、旧定理的新证明或巧妙应用。我和同事曾在笔记栏目下发表一篇短文，用关于非负矩阵的经典Perron-Frobenius定理求解了一个几何问题。第三个栏目列出广征解答的几个数学难题，同时给出前一期中的难题的答案以及那些提供正确答案的读者的名单。

这四个期刊发表的文章全是阐述性的，因此编辑对作者的写作风格要求极高。投稿的文章绝非仅仅是罗列定义、定理及其证明就能发表，即便是张益唐教授证明的那个让他扬名天下的伟大定理。据说《美国数学月刊》的拒稿率不低于90%。例如，我的博士论文导师李天岩教授在当博士生时，与他的博士论文导师约克教授合写的文章《周期三则意味着混沌》第一次投稿时，被《美国数学月刊》拒绝，因为写法不适合作为主要读者群的大学生。幸亏编辑给他们留下了一条后路：如果作者将文章改写到大学生能看懂的地步，可以再次投给它。第二年，这篇第一次定义了数学术语“混沌”、到目前为止已被引用超过4500次的八页论文终于发表于这份全世界读者人数最多的数学期刊。

其它三个期刊的写作要求也同样地高。就拿《高校数学学报》来说，我的一篇文章《指数函数的动力学》（Dynamics of exponential functions）从向它投稿到最后发表，历时将近三年。许多时间是花在主编与我之间不停的来回电邮，推敲用词用语、重放单词位置、美化数学表达式的结构与形式，等等。

最后，主编还让我提供几张对应于底所属不同区间的指数函数图像，帮助读者通过几何直观看到函数迭代的本质；同时也列表总结，给出对指数函数的所有底，函数迭代数列的最终性态，以及对应的分支图。这些仔细的修改，不仅让我直接体验到期刊编辑极其认真的工作态度，也让我上了一堂生动活泼的英文写作课。功夫不负苦心人。当文章发表时，在主编寄给我的那期《高校数学学报》中，他夹了一张字条：“这篇文章是对本刊及本期的一个主要贡献（This is a major contribution to this Journal and this issue）。”

为什么美国数学协会的期刊要花那么大的精力和读者一起修改已被接受发表的文章，而与那些更“高档”的学术期刊的通常做法不太一样？原因就在于，这些文章是真正阐述性的。它们的主要读者是人数众多的大学生。如同美国的大学一切以学生为中心，面向大学生以及他们的教师的杂志也是把学生时刻放在第一的位置。

所以文章的写作质量是赢得学生注意力的关键要素。而保证这种质量的一个重点是“非正式”的写作方式，英文就是informal way。它就像和朋友在林间的散步闲聊那么自然得体，而不是像听领导干部做报告正襟危坐那样“正式”。这与数学文化的精神十分吻合。因为数学发现的过程总是先直观，后逻辑，思想的涌现与流动是碎片式的，如同乌拉姆所说的“像巡逻兵那么地一步一步向前摸索前进。”容易让广大读者理解领会的文章就应该这样写。

正因为美国数学协会的期刊是向广大学生及数学爱好者普及数学思想和方法的重要阵地，许多有名的数学家也热衷于向它们投稿，尤其是在全世界范围内数学期刊读者群最大的《美国数学月刊》。在它的作者花名册里，你可以看到陈省身、拉克斯（Peter Lax，1926-）等大数学家的名字。

陈省身曾用他的生花妙笔以浅显生动的语言给读者讲述了现代微分几何。郭永怀、林家翘和钱伟长的硕士论文导师以及后者的博士论文导师辛格（John Synge，1897-1995）在他91岁时，与一名合作者发表文章，专门讨论“垂足三角形”迭代过程中的周期点问题。这引起了拉克斯的极大兴趣。他于1990年也在《美国数学月刊》上发表文章，探讨了垂足三角形迭代所对应的混沌的“垂足映射”的遍历性质，并用学生易懂的初等方法证明：这个二维的逐片线性的映射是遍历的，即该映射的迭代轨道落到其定义域的任一子区域当中的频率，等于这个区域的面积与定义域面积之比。

一个更引人注目的例子当属波兰裔的美国数学家卡茨（Mark Kac，1914-1984）。1966年，他在《美国数学月刊》上发表了一篇题目就很吸引人的文章《人能听见鼓的形状吗？》（Can one hear the shape of a drum?）。这篇文章写得如此之好，以至于他囊括了两枚美国数学协会颁发的数学写作奖章。一枚是该协会名气最大的杰出写作奖，而另一枚专门奖励发表在《美国数学月刊》或《数学杂志》上的文章。

26年后，另一篇题为《人不能听见鼓的形状》（One cannot hear the shape of a drum）的三人合作之文与它遥相呼应，发表在《美国数学会通报》（Bulletinsof the American Mathematical Society）上，顿时成了1992年美国数学界的热点新闻。

在美国，还有一份优秀的普及数学杂志。它是由两位美国数学家BruceChandler和HaroldEdwards于1979年创办的。期刊的名字是MathematicalIntelligencer，中文翻译为《数学信使》。近四十年来，这个集数学和娱乐为一身的杂志吸引了无数的读者。它的文章覆盖的范围是数学概念的起源、数学思想的发展、数学家的经历、数学史的趣闻，以及数学文化的点滴。

所发表文章的特点是以引人入胜的写作风格，为广大的数学家及广泛的知识界提供与数学息息相关的信息和娱乐。加州大学伯克利分校的数学教授斯梅尔（Stephen Smale，1930-）分别于1984年和1998年为它贡献了两篇随笔。前一篇《在莫斯科大学的台阶上》（On the steps of Moscow Univer-sity）回忆了他1966年获得菲尔兹奖时,怎样在莫斯科大学的台阶上举行了记者招待会，将美国政府和苏联政府各打五十大板。后一篇《在里约的海滩上发现马蹄铁》（Finding a horseshoe on the beaches of Rio）则描绘了60年代初他怎样在巴西里约的海滩上一边游泳一边思考数学，最终构造了马蹄铁映射这个离散动力系统的著名例子。

1989年的一期《数学信使》刊登了加拿大数学家科尔曼（A. JohnColeman，1918-） 的一篇文章。它的题目就别出心裁：《史上最伟大的数学文章》（The greatest mathematical paper of all time）。妙就妙在虽然所有数学论文的集合不可能是“全序集”因而有“最大元素”，但作者认为，一位伟大的德国数学家Wilhelm Karl Joseph Killing （1847-1923） 于1888年发表的一篇关于李代数的文章，名垂千史。同一年，李天岩教授也在该期刊发表一文《解多项式方程组》（Solving polynomial equa-tions），用高中生能看懂的语言介绍了怎样用现代同伦算法的思想求解多变量多项式方程组的孤立解，尽管这个方法背后的是艰深的代数几何。

二十五年前，对杨振宁先生素有研究的华东师范大学数学教授张奠宙（1933-），也在《数学信使》上发表了《杨振宁与当代数学》（C. N. Yangand contemporary mathematics） 一文，从题目上就能知道所讲的内容。以杨振宁名字命名的杨-米尔斯理论和杨-巴克斯特方程，都和当代数学的几个分支密切相关。

众多数学写作奖

美国数学协会设立了一些写作奖，每年奖励在它的期刊上发表的被评为写得最好的文章。级别最高的奖是Chauvenet奖，奖励一篇杰出的阐述性数学文章。该奖由曾任哈佛大学数学系主任的柯立芝（Junian Coolidge，1873-1954）于1925年建立，以纪念曾担任过圣路易华盛顿大学校长的数学家William Chauvenet （1820-1870）。这也是美国数学协会历史上的第一个奖项。陈省身于1970年获得此奖。而卡茨分别于1950年和1968年拿过两次Chauvenet奖。

1964年，美国数学协会建立了福特（Lester R. Ford，1886-1967） 奖，奖励在《美国数学月刊》或《数学杂志》上发表杰作的作者。福特于1942至1946年担任《美国数学月刊》的编辑，1947至1948年为美国数学协会的主席。自从2012年，该奖改名为哈尔莫斯 （Paul R. Halmos，1916-2006）-福特奖，以表彰《美国数学月刊》的前任编辑哈尔莫斯的众多贡献以及他的家庭对该奖项的资金支持。

对于在《数学杂志》、《高校数学学报》以及《数学视野》上刊登的好文章，各有一个专门奖项褒奖之。它们分别为阿伦多尔佛（Carl B. Allendoerfer）奖、波利亚（George Pólya，1887-1985）奖及易凡思（Trevor Evans）奖。此外，美国数学协会还设立了一个海瑟（Merten M. Hesse） 青年作者奖，适用于它旗下所有的期刊。

除了以上论文写作奖，美国数学协会的欧拉图书奖每年奖励可能提高公众视野的一部数学图书，由哈尔莫斯夫妇2005年捐资而成，在2007年欧拉300周岁纪念日时颁发首奖。1998年的菲尔兹奖得主TimothyGowers （1963-）于普林斯顿大学出版社2008年出版的《普林斯顿数学指南》（The PrincetonCompanion to Mathematics ）获得了2011年度的欧拉图书奖。他不仅编辑了133个杰出数学家为本书所撰写的所有条目，同时他自己对此书也贡献良多。

发掘数学苗子的竞赛

数学，按照英国纯粹数学家哈代（Hardy，1877-1947）在其名著《一个数学家的辩白》（An Apology of aMathematician）中的断言，是年轻人的天下。因此及时发现好的数学苗子也是保证数学事业后继有人的一项文化之举。在美国，肩负其职的主要是美国数学协会。它每年组织中学生和大学生的数学竞赛。其中对象为中学生的称为美国数学竞赛（American Mathematics Competition），简写为AMC。它又细分为专考初中生的AMC8和考核高中生的AMC 10及AMC 12。

这里数字8、10、12指的是初等教育的8年级、10年级和12年级。高中生数学竞赛的前500名，将被邀请参加下一轮的美国数学邀请赛 （American Invita-tional Mathematics Exam）。这个赛事的前三十名将入选美国数学奥林匹克夏令营，参加夏季的集中训练，最后挑出六名选手组成美国队参加国际数学奥林匹克一年一度的竞赛。中国队在过去的几十年成绩辉煌，但美国队在最近的三年排名第一。它的领队是卡内基-梅隆大学的一名华裔数学教授罗博深。他对采访他的中国记者说，他的任务并不是带领他的队伍拿世界第一，而是“帮助提高整个国家的数学水平。”

在美国，还有一项专门的初中生数学赛事，英文叫Mathcounts。它是由国家专业工程师学会、全国数学教师委员会，以及某个基金会共同操办的。它和上述的美国数学竞赛一样，都是由低到高一层层向上选拔，只是竞赛方式有异。比如，除了笔试外它还有抢答题。通过学校、地区等的选拔赛，各州的州级比赛的前四名组成州队，参加全国的Mathcounts竞赛的最后较量。我的侄子从扬州来到美国读初中时，英文还有问题，但凭在中国打下的数学基础让他打破了所在初中的Mathcounts地区夺魁零记录，杀入全州的比赛，并名列州赛的前四名。

大学生的数学竞赛以它的创始人命名，全称为普特南数学竞赛（WilliamLowell Putnam Mathematical Competition），于1938年举办了第一届。1939年第二届普特南数学竞赛的个人第一名是前面提到的费恩曼。那一年的团体第三名竟然是位于我所居住小城哈蒂斯堡的密西西比女子学院（Mississippi Woman’s College）。

这个学校后来改了名，成了一所男女合校的私立学院，现称威廉凯里大学（William Carey University）。在普特南数学竞赛的八十年历史中，这是我州唯一的一所打入团体前三名的高校。普特南数学竞赛的许多个人优胜者，最后成长为杰出的数学家。一个典型的例子是米尔诺（John Milnor，1931-）。他获得过菲尔兹奖、国家科学奖、沃尔夫奖、阿贝尔奖等。

另一方面，美国数学会虽然侧重于数学研究的事务，它同样也不遗余力地传播数学文化，极其重视大学生和研究生的数学教育，从研究的角度普及数学的思想与概念。它每年十期的《美国数学会会刊》（Notices of the American Mathema-ticalSociety）简直就是快速输送数学文化的“高铁”。

那是一本普及性杂志，也是全世界读者人数最多的数学期刊之一。它每一期都登载著名数学家的采访、已故数学家的追忆、某一现代数学分支发展的综述性文章，甚至以一、两页的篇幅介绍刚出现不久的一个数学概念。比如2018年5月的一期转载了挪威数学家对2017年的阿贝尔奖得主、法国数学家Yves Meyer （1939-）的采访记。最近几年，《美国数学会会刊》也增加了一个关于研究生读书与研究的栏目。

数学文化的功能

数学文化对于数学教学、数学研究以及大学生、研究生的成长至关重要。

就教学而言，数学史的课程能让学生饱览古今数学思想，充分了解不同学科历史发展的来龙去脉，继而全面认识数学家们创造数学概念的心路历程。通过这一过程，学生可以学会理解引导理论发展的关键想法，而不是仅仅局限于背诵定理的证明。他们继而能够充分发挥想象力，超越过去的知识，创造新的知识，从而不断获得新观察，达到融会贯通、举一反三的目的。

​对于研究来说，通过对数学大家抓住问题本质的历史追踪，启发自己的心智；通过了解他们获得研究灵感的那个瞬间，懂得把握机遇不放过蛛丝马迹的关键。前辈学者由表及里、从具体到抽象而形成新的数学概念的心得体会，也会启发后学之辈如何攻克难关。

庞加莱曾经在他优美的科学哲学写作中，详细记录了他在研究自守函数理论时怎样解决一个问题的前前后后。他的同胞数学家阿达玛（Jacques Hadamard，1865-1963） 甚至著书一部，题目是《数学领域里的发明心理学》（The Psychologyof Invention in the Mathema-tical Field）。

此外，数学家们的饭桌交流、纸笔上阵，经常让参与讨论的各路好手脑洞大开；志同道合的结伴远足，小道漫步时的谈天说地，也时常会彼此碰撞出思想的火花。这些数学研究中的文化因素给未来的研究家们新的鞭策、新的启迪。

有鸿鹄之志的青年学生阅读了好的数学家传记，易被激励奔向远大的理想。丘成桐教授早就告诫少年学子，与其花大量的精力参加奥数的训练与比赛，不如去读写得好的科学家传记。贝尔的《数学大师：从芝诺到庞加莱》，出版八十余年来，不知影响了多少年轻学子。就凭这本著作，他就历史留名。而他在数学研究中的成就则早已湮灭在历史的尘土里。

因此，要想激励学生走上科学之路，在课堂上穿插一些名人轶事，不仅可以让听课的学生兴趣盎然，而且也给予他们意外的收获、前进的榜样。而教科书中各章各节加入的历史梗概，也会帮助读者对学科的成长追本溯源，令他们有耳目一新之感。

既然数学文化对理解数学、普及数学以及对人类文明的建设具有广泛的意义，我们广大的数学工作者对它应该投入巨大的热情，让自己不仅成为“将咖啡转化为定理”功率强大的证明机器，而且成为能烘焙出香喷喷“大众面包”技艺高超的数学面包师。

它山之石可以攻玉。美国数学界的许多做法值得我们借鉴。比如说，我们这个数学大国，还缺乏像《美国数学月刊》这样脍炙人口的阐述性数学期刊。我们虽有类似的面向高校数学教学的期刊，比如《大学数学》，但文章的写作风格还停留在传统数学期刊的“定义、定理、证明”的八股阶段，很难提起大学生读者的阅读兴趣，吊起他们的胃口。

我们的数学竞赛难免不受功利主义的影响，优胜的选手却基本不是立志献身数学一辈子。另外，我们的数学教授，尤其是那些名气很大的，撰写数学科普书籍甚至文章的积极性不高。50年代以华罗庚为代表的那批杰出数学家为中学生撰写数学小册子的时代还没有像彗星返回那样重现。

数学是科学之母。它的繁荣与否决定着社会的进步或衰退。我们要想把数学大国进步到数学强国，增进数学文化的气氛是每个数学人义不容辞的责任。