考上清华和中500万，哪个更难？_风闻

来源：微信公号“李永乐老师”

有人说他一生有两大理想：考上清华大学，中500万大奖。对大多数人来说，这两件事都不容易。但是大家有没有想过这两件事哪件更难呢？

我们不妨首先从概率论角度来讨论一下这个问题。

概率论

首先说中500万。如果我们只是买一注双色球，那么在33个红球中选择6个，在16个蓝色球中选一个，利用组合数可以计算出一共有大约1772万种可能。中大奖只有一组号码，因此中奖的概率为1/1772万。实在是太难了。

那么考清华呢？

清华大学每年招生大约3000人，以2017年为例，全国考生842万。如果所有考生都报名清华大学，清华大学采取抽签方式决定录取，则录取概率是3000/942万=3/万.

也就是说，每一万名考生中只有3名同学能够被录取，真是万里挑一。

然而，这个概率还是远远超过双色球中500万的概率，考上清华大约是中500万大奖概率的5000倍！也就是说：考上清华比中五百万大奖要容易5000倍。

有人说：你算错了，因为高考是分省录取的，有的省考生多，名额少，所以会更难。

我们不妨来看看河南省。2017年河南省考生83万，清华大学录取100人，录取率100/83万=1.2/万。每1万名考生录取1.2人。这虽然比全国平均录取率低了不少，但是仍然是中500万大奖概率的2000倍。

所以说：清华的学生长什么样见过，中五百万的人从来没见过长啥样。

以上的模型非常粗糙，因为清华大学并不是抽签决定录取的，而是要看考试成绩。于是有同学会说，我从小学习就不好，就算把3000个名额都投到我们省我也考不上啊。统计学告诉你，其实不一定。

正态分布

在统计学上有一个著名的实验：高尔顿钉板实验。

英国生物统计学家高尔顿提出了高尔顿钉板实验。在一个漏斗中装有一些小球，漏斗下方有一些水平钉子，小球碰到钉子就会随机反弹。经过一次次碰撞，小球最终掉落到下方的竖直槽中。

如果只下落一个小球，那么小球掉落在哪个槽中是随机的。但是如果一次次让小球下落，或者一次性释放许多小球，就会发现中央的小球多，两侧的小球少。球的数量满足一种规律。

不仅仅是高尔顿钉板，人们发现只要一个结果是由许多随即量影响的，那么这个结果就会满足这种“中间多，两头少”的规律。例如一个年龄段某地区男性的身高就近似满足正态分布。

被誉为数学王子的德国数学家高斯对正态分布理论有重大贡献，因此人们也把正态分布称为高斯分布。以前的德国十马克货币上就印有高斯和他的正态分布曲线。

我们来介绍一下正态分布曲线。

正态分布的横坐标表示取值，例如人的身高，可能是3250px-5000px之间，把这些数据每隔一小段作为一个值画作横坐标。纵坐标表示概率密度，即在一个很小的身高范围内人数占总人数的比例。在这种规定下，曲线下方的面积就表示一个范围内身高人数占总人数的比例。显而易见，整条曲线下方的面积为1。

在这条曲线上，最高的部位刚好在曲线中间，称为期望μ。而曲线的宽窄用标准差σ表示。σ越大，则线条越矮胖；σ越小，则线条越瘦高。

人们经过计算得出了结论：满足正态分布的随机量，最后取值在μ-σ到μ+σ之间的概率大约是68.2%，在μ-2σ到μ+2σ之间的概率大约是95%等。

一个人的考试成绩也受到多种因素的影响。比如自己学习成绩高低、考试那天的身体状态、题目的难易程度，甚至是考场上的风吹草动。所以考试成绩并不是一定的，而会有波动和起伏。学习好的同学期望μ比较高，成绩稳定的同学σ比较小。虽然我们不知道自己最终成绩如何，但是可以通过正态分布假设计算出自己成绩在各个区间的概率，从而推测自己是不是能考上清华。

举个例子

例如：小明同学在高三参加了四次模拟考试，成绩分别是580，600，680和620。而清华的分数线为690分，这名同学是不是一定考不上清华呢？

我们假设这位同学的成绩满足正态分布，根据数据计算出他的平均分和标准差。

平均分公式：

标准差公式：

所以，清华的分数线比这位同学的平均分高了Δx=690-620=70=1.87σ

画出正态分布曲线，在μ+1.87σ右侧部分的面积就是他考上清华的概率。这个概率可以通过查表获得。

这个表表示x的取值小于某值时出现的概率。例如第三列第四行0.5832表示x<μ+0.21σ的概率。

利用这个表格我们可以查询到x<μ+1.87σ的概率为0.9693，因此小明考上清华的概率（x>μ+1.87σ）为1-0.9693=0.0307，大约为3%。

即便一个同学每次考试都在600分以下，他依然有一定概率在高考中考到690分清华的分数线，只不过可能是万分之几量级。

高考在即，李老师祝大家考试顺利，都能够考出μ+2σ以上的成绩，考上自己理想的大学。