潘攻愚：欧美小孩到底学过乘法表和乘法口诀吗？
【文/ 观察者网专栏作者 潘攻愚 视频/杜津】
近日，观察者网花边栏目一则“没有中国的九九乘法表，外国人是怎么算乘法的？”一文引起了不少读者的兴趣。
大约在两年前，笔者在国内某视频网站上第一次浏览到这则视频时，看了六七秒钟就直接拉到屏幕下方看读者评论，果不其然，吐槽者甚众，无非是抨击歪果仁喜欢“化简为繁”，这些奇技淫巧的展示不但不能证明西方人的聪明，反而带有呆傻愚笨气；相比之下， “九九乘法表”琅琅上口，形成了条件反射式的记忆，计算速率方面远胜“画线乘法”术。
不过这次笔者仔细留意并细细梳理了“画线乘法（multiply numbers by drawing lines）”的来龙去脉，觉得确实比想象中有意思，完全不是恶搞或者歪果仁在“自污”他们的数学学习体系。
**“画线乘法”**是怎么来的？
这则视频诞生于2014年的四五月份，作者名叫Presh Talwalkar（目前尚不知这是否为笔名），美国斯坦福大学的高材生，主修经济和数学（Economics and Mathematics），现在毕业与否也不清楚。
Presh Talwalkar的著作单：《博弈论的乐趣》、《数学鬼点子》等等，都和数学有关，售价9到12美元不等
他在国外网购平台亚马逊（Amazon）的图书市场上有几本著作，定价都不贵而且篇幅很小，属于“小品书”的范畴，几乎全部都与数学（诸如博弈论、计算窍门和技巧）相关。在网络上有关他的资料很有限，笔者还是搜到了他的照片。
看到他的照片时，笔者觉得他的脸能完美地和“画线乘法”的视频相契合。为什么这么说呢？因为这是一张典型的geek，nerd（书呆子）的脸：过于早慧导致脱发严重索性剃成光头，眼神看似散漫无光但又好像在盯着什么深思，厚厚的眼镜两侧，他肌肉松弛的双颊好像在告诉你：别和我怼智商。
他在国外著名视频网站Youtube的账号是MindYourDecisions，“画线乘法”的视频推出后，不长的时间内居然有了上百万的点击量。下面的读者有不停地在问问题的，如“这个视频能解决xxx乘法吗”；还有很多赞叹的“很棒！很厉害！”这也恰恰可以证明“画线乘法”术对外国人本身来讲也是很新奇、很怪异的，而不是像某些人炒作的那样说是他们惯用的一个计算手法。
他制作的“画线乘法”视频点击数目前超过了180万
“画线乘法”的基本原理在观察者网的这则新闻下已经稍作了介绍，不过篇幅基本只限于百以内的两数相乘（计算节点时，两位数和两位数相乘，划分三个区域的节点，三位数和三位数相乘，则有五个区域的节点）。
除此之外，笔者介绍他所回答的两种其他情况：
1 如果是三位数乘以两位数，应该怎么画线？答案是两位数前面补足一个0就可以了。比如234*12，就相当于234*012。0在画线的时候还是要画出来的，只不过要用不同颜色的笔来画，而且最后数节点的时候，把0这条线的节点忽略不计就行了。
2 如果出现大的数字怎么办？比如59*98？难道要在纸上先画5条线，再画9条，然后其他方向画9条，再画8条？这岂不是很麻烦？早有国外的网友吐糟：俺也没有这么大的纸啊。
Presh Talwalkar对此是这样解决的：用一条蓝色的线代表5，那么两条蓝色的线就是10，那么9就是两条蓝色的线减去1,这个时候，用其他颜色（比如绿色）的线表示-1，那么9就画出来了：两条蓝色的线加一条绿色的线；同理，8就是两条蓝线加两条绿线。59*98的计算如图所示：
（要记住一条：节点的计算也是按照十进制的规则的，假如中间区域的节点数量超过了10，比如12，则把1递加到相邻区域中，只保留个位数2就可以。）
行文至此，读者估计已经忍不住发问了：这不是蛋疼吗？这有什么用，简直是庸人自扰嘛。真正要算乘法的结果我们有计算器啊，哪怕是心算，对于聪明人来说，算出来的速度也比这个“画线乘法”法要快。
Presh Talwalkar发明的这个“画线乘法”术，笔者觉得他的目的就是“玩”，以此为乐，很享受这个玩数学的过程。孔夫子有讲过技艺的精进过程很经典：“……依于仁，游于艺。”这个Presh Talwalkar就在这个“游于艺”的阶段，把数学计算当成一种“艺”在“游玩”，他把纯计算还原成直线的连接数，有一些类似于笛卡尔把代数和几何相结合的味道。
所以他把“画线乘法”的原理写出来卖书，而且引了一帮同好相互唱合，很有类似古代文人“斗诗”，当代中老年一起“尬舞”的怡情之趣。
抛开这个书呆子的“画线乘法”术，这里还有一个问题，前文中也提到国人很是以我们的“乘法表”和“乘法口诀”而自豪，笔者承认它确实推动了国人在幼年阶段的计算能力，尤其是其中一些口诀比如“一五一十、三七二十一”等变成了一种坊间俚语，更是强化了这种计算记忆。
那么，欧美国家的孩子，有“乘法表”和“乘法口诀”吗？
答案是有，而且大有特有。
观网有读者Melodie_im_Wald在评论中已经指出，德国小学生二年级开始背九九乘法表，二三十年前五年级时要背到25乘以25，这很可能是经验之谈。
以“乘法表”（Multiplikationstabellen）作为关键词在某搜索引擎中搜索，可以搜到大量的德语版包括瑞典语版的乘法表。说实话，笔者小时候学乘法表和乘法口诀，只学了“九九乘法表”，并没有涉及两位数和两位数相乘的内容。从这一点看，德国、英国和瑞典的同龄段的孩子的内容深度貌似已经超过了国内儿童。
不过据观察者网某青年学者根据自己的亲身经历提供了这样一个事实：在美国中小学课堂上，学生用计算器帮助计算是司空见惯的现象。
英国教育部2016年1月3日推出新规：英格兰地区小学生在毕业前（11岁左右学生）需参加12×12以内的乘法表考试
还有读者说西方人确实有乘法表帮助背诵，但是没有“乘法口诀”。这很可能和语言的发音体系有关，因为按照西方人设定的那种音节（Syllable）为标准，每个汉字的发音基本就是“一字一节”，而且汉语中“韵”（rhyme）天然地能和音节结合，琅琅上口很方便：比如“二十五”，汉语只有三个音节，那么德语呢？fünfundzwanzig，是汉语音节的两倍（如果不以教科书上那种必须以元音判定音节数的标准）。
在这里笔者再以法语为例举一个比较经典的例子。现代网球规则是法国人主导的，以局分来说，一球15分，连续两次得分为30分，但是第三次得分为40。这里，15,30,40根本不是等差数列，为什么第三次得分不是45分呢？答案很简单，法语45这个数字的发音实在是太长了，连报分员都觉得麻烦，索性用40代替。
那么无论法语德语还是瑞典语，数字的发音做成“口诀”比起汉语来天然有劣势，那就要想想办法了：编成歌谣唱起来！
一旦编成了歌谣，那就不可避免地要加上一些除了数字之外的“废话”，这样的话就可以既保证“押韵”，也可以在句与句之间显得整齐便于背诵（不至于其中某句子太长，某句子太短）。
所以西方的孩子小时候也许没有乘法口诀，但有不少的“乘法歌谣”，尽管如此，还是不得不说，乘法歌谣比起口诀来，效率还是低多了，九九乘法表，从一一得一，到九九八十一，排比句如倾泻而下的瀑布，一气呵成。
读者可以看一下，仅仅是8这个数字的乘法，德国人就需要单独的一首歌来帮助记忆：
视频来源：Youtube@Kinderlieder zum Mitsingen und Bewegen
歌词如下：
Jeden Tag geht Max zur Schule.
Mal hat er Lust, mal eher nicht.
Der Lehrer fragt ihn tausend Dinge
und schaut ihm mitten ins Gesicht.
Er starrt durch seine große Brille
und will von ihm das 1 x 8.
Wie gut, dass Max zu Haus geübt hat,
denn Mathe ist sein Lieblingsfach.
1 x 8 ist 8, Herr Schmidt, und 2 x 8 ist 16,
3 x 8 ist 24 – sehn Sie, ich kann rechnen!
4 x 8 ist 32, 5 x 8 ist 40.
6 x 8 ist 48, Mathe ist so wichtig.
7 x 8 ist 56, gleich sind wir am Ende.
8 x 8 ist 64, klatscht mal in die Hände.
9 x 8 ist 72, 10 x 8 ist 80.
Wenn du es beim ersten Mal nicht kannst,
dann sag ich dir: Das macht nichts.
这首歌的歌词翻译如下：
马科斯每天去上学，他学习的兴趣时有时无。老师盯着他的脸问了一千件事情，并且透过硕大的眼镜教给他一八得八，太好了！马科斯回家开始练习，数学成了他最喜欢的课程。一八得八，施密特老师，二八一十六，三八二十四，请看，我会算啦！四八三十二，五八四十！六八四十八，数学很重要哦！七八五十六，我们先到此为止。八八六十四，大家一起来拍手！八九七十二，八乘以十是八十。如果你第一次算不出来，我告诉你：这没关系！
那么，有“乘法表”和“乘法歌谣”德国小孩的数学水平现在到底怎么样？相当能反映一个国家基础教育水平的PISA测试（国际学生能力评估计划），2015年德国孩子的数学得分只排到了世界第20名：
顺便说一下，2015年数学能力排第一的是上海学生，排第二的是香港学生。对此，德国媒体开始担忧他们的数学基础教育是不是出了什么问题，也准备大张旗鼓地向中国取经。不管孩子们有没有乘法表和乘法口诀，德国人要想办法必须要把数学先贤的棺材板压住了:毕竟他们的祖上出过高斯、黎曼等世界一流的数学家。
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